प्रस्तावना खंड  

   

सूची खंड  

   
Banners
   

अक्षरानुक्रम (Alphabetical)

   

विभाग एकविसावा : सांचिन - ज्ञेयवाद              
 
स्थितिगतिशास्त्र-(१) पदार्थांच्या गती आणि पदार्थांनां गतिमान किंवा गत्युन्मुख करणाऱ्या शक्ती यांचें ज्यांत विवेचन करितात तें स्थितिगतिशास्त्र होय. हें शास्त्र अर्थांत पदार्थविज्ञानशास्त्राचें एक अंग आहे.

(२) ग ति आ णि स्थि ति यां नी सा पे क्ष ता.- पदार्थांच्या गतींचा विचार करतांना त्यांची गतिरहित अवस्था म्हणजे स्थिति किंवा स्थिरता हिचाहि विचार केला पाहिजे. आगगाडी वेगानें धांवत असली तरी आंतील माणसें आपल्या जागीं स्थिर आहेत असें आपण म्हणतो. वस्तुत: आगगाडीबरोबर आंतील माणसेंहि वेगानें स्थलांवर करीत असतात. तेव्हां आगगाडीच्या संबंधानें हीं माणसें स्थिर व भूपृष्ठासंबंधानें ती गतिमान् आहेत असेंच समजणें योग्य होय. समजा की, आगगाडी पूर्वदिशेंत २ सेकंदात १०० फूट गेली व तितक्याच वेळांत आगगाडींतील दक्षिणोत्तर बाकाच्या एका टोंकावरून उठून एक मनुष्य १० फूट अंतरावरील दुसऱ्या टोकांपर्यंत गेला, तर त्या मनुष्यानें आगगाडी संबंधानें दक्षिणोत्तर १० फूट स्थलांतर झालें. पण त्याच वेळीं आगगाडीचें भूपृष्ठासंबंधानें  पूर्वेकडे १०० फूट स्थलांतर झालें. यामुळें त्या मनुष्याचें भूपृष्ठासंबंधानें किती व कोणत्या दिशेस स्थलांतर झालें असेल हा प्रश्र्न उद्भवतो. सारांश गति आणि स्थिति किंवा स्थिरता यांचा उल्लेख नेहमीं सापेक्षत्वानें किंवा एकाद्या विशिष्ट पदार्थासंबंधानें करण्यांत येतो. या पदार्थास अधिष्ठान असें म्हणूं.

(३) स्थ लां त र.- एका बिंदुरूप गतिमान पदार्थांनी एखाद्या अधिष्ठानावर दोन भिन्न वेळांची क आणि ख अशीं स्थानें घेतलीं तर मधील वेळांत त्यांचे झालेलें स्थलांतर कख ही सरळ रेषा दर्शवितें. स्थलांतरास आरंभस्थान, लांबी अथवा मिति आणि दिशा अशीं तीन अंगें असली पाहिजे हें उघड आहे. कखशीं समान व समांतर अशी जर अप रेघ काढली तर ती स्थलांतराची मिति आणि दिशा हीं दोनच अंगे दर्शवितें. कख, खग, व गघ अशीं अनेक स्थलांतरें मिति आणि दिशा या दोन अंगांसच अनुलक्षून दर्शवावयाचीं असतील तर (आकृति नं. १ पहा) कोणताहि अ हा बिंदु घेऊन अप, अफ, अब या अनुक्रमें कख, खग, गघ यांशीं समान व समांतर रेषा काढाव्या. वाटल्यास सोयीसाठीं अप, अफ, अब या रेषा अनुक्रमें कख, खग, गघ यांशीं समान न काढतां विशिष्ट प्रमाणांत उदाहरणार्थ, मूळ स्थळांच्या निम्म्या काढल्या तरी चालतील. तसेंच स्थलांतरें, मिति व दिशांविषयीं दर्शविणाऱ्या सर्व रेषा एकाच अ बिंदूंतून काढिल्या पाहिजेत असें नाहीं. उदाहरणार्थ वरील (नं. १) आकृतींतील १, २, ३ या रेषाहि कख, खग, गघ यांशी प्रमाणांत समांतर असल्यामुळें सदर्हू स्थळांतरें दर्शवितात.

(४) स्थ लां त रां चें सं यो ज न.- अ आणि इ हीं दोन अधिष्ठानें आहेत असें समजूं (आ नं. २ पहा) उदाहरणार्थ, अ ही सपाट जमीन व इ ही तीवरील एक फळीं असें मानूं. गतिमान् बिंदुरूप पदार्थ म्हणजे इ. फळीवरील क या स्थानीं असलेली एक लहान मुंगी मानूं. आतां इ ही फळी (१) स्थानापासून (२) स्थानावर सरकविली तर मुंगीचें क हें ठिकाण ख या स्थानीं जाईल. इ फळीच्या क बिंदूचें कख हें स्थलांतर अ या अधिष्ठानावर (जमिनीवर) झालें. त्याच वेळांत जर मुंगी इ या फळीवर चालून ग या स्थानीं जाईल तर इ या अधिष्ठानावर मुंगीचें खग हें स्थलांतर होईल व अ या अधिष्ठानावर कग हें स्थलांवर होईल. म्हणजे इ अधिष्ठानाच्या गतीमुळें झालेलें मुंगीचें एक स्थलांतर कख आणि इ. अधिष्ठानावर झालेलें मुंगीचें दुसरें स्थलांतर खग यांचा एकीकृत परिणाम अ या अधिष्ठानावरील मुंगीचें कग हें स्थलांतर होय. हें त्या दोन स्थलांतरांचें फलित स्थलांतर होय.

तसेंच, वरील विवेचनांत जर प्रथमत: मुंगीचें इ. अधिष्ठानावरील कव हें स्थलांतर घेतलें, तर कघ आणि खग ह्या दोन्ही एकाच स्थलांतराच्या निदर्शक असल्यामुळें समान व समांतर होतील आणि कखगघ हा समांतरचतुर्भुज होऊन घग ही कखशीं समान व समांतर झाल्यानें इ. या अधिष्ठानाचें त्याच वेळीं झालेलें स्थलांतर दर्शवील. यावरून तीन नियम सिद्ध होतात ते असे : नियम पहिला :-गतिमान  बिंदुरूप पदार्थाच्या दोन स्थलांतरांचें फलितस्थलांतर काढण्यास ती दोन्ही स्थलांतरें मिति आणि दिशांविषयीं दर्शविणाऱ्या सरळ रेषा आपापल्या दिशांत अशा काढाव्या कीं जेथे एकीचा शेवट तेथेंच दुसरीचा आरंभ व्हावा. म्हणजे त्या पैकीं पहिलीच्या आरंभापासून दुसरीचा शेवटापर्यंत काढलेली सरळ रेषा ही त्या दोन स्थलांतरांचें फलित-स्थलांतर मिति व दिशा यांविषयीं दर्शवील. उदाहरणार्थ, वरील (नं.२) आकृतींत ख हा कख स्थलांतराचा शेवट व खग स्थलांतराचा आरंभ होय. किंवा घ हा कघ स्थलांतराचा शेवट आणि घग स्थलांतराचा आरंभ होय. कोणताहि अनुक्रम घेतला तरी कग हें फलित स्थलांतर होय. नियम दुसरा:-गतिमान् बिंदुरूप पदार्थाच्या दोन स्थळांतरांचें फलितस्थलांतर काढण्यास ती दोन्ही स्थलांतरें मिति आणि दिशांविषयीं दर्शविणाऱ्या सरळ रेषा कोणत्याहि एका बिंदूपासून काढून त्या रेषा ज्याचे निकटवर्ती भुज आहेत असा समांतरचतुर्भुज तयार करावा.  म्हणजे त्या चौकोनाचा त्या घेतलेल्या बिंदूतूर काढिलेला कर्ण हा त्या दोन्ही स्थलांतरांचे फलितस्थालांतर मिति व दिशा याविषयी दर्शवीला; जसे: वरील (नं.२) आकृतीस कख आणि कघ ह्या दोन स्थलांतरे दर्शविणा-या रेषापासून कखगघ हा समांतरचतुर्भुज होतो.  व त्याचा कग हा फलित स्थालांतर दर्शवितो.  नियम १ मधील तत्वास स्थलांतरांचा त्रिभुजविधि म्हणतात.  व नियम २ मधील तत्वास स्थलांतरांचा समांतरचतुर्भुजविधि म्हणतात, यापैकीं कोणत्याहि विधीनें दोन स्थळांतरांचे फल काढणें या क्रियेत स्थलांतराचें संयोजन म्हणतात.

(५) फ लि त स्थ लां त रा चें ग णि त:- एका गतिमान बिंदूचीं अधिष्ठानपरत्वें स आणि श अशीं दोन स्थलांतरें होतात व त्यांमधील दिशांतर त या कोनाइतकें आहे तर फलित स्थलांतराची मिति व दिशा काढणें. क या कोणत्याहि बिंदूपासून स आणि श यांस दर्शविणाऱ्या कख आणि कघ रेघा काढून कखगघ हा समांतरचतुर्भुज करावा. त्यांत खकघ    = त, असें असणार. आतां त्रिकोणामितीच्या साहाय्यानें. (कग)२ = (कख)२ + २ (कख) (कघ) कोभु (कखघ)
                 (कघ) भुज (खकघ)
आणि स्पर्श (गकख)  = ---------------------------------
              (कख)  + (कघ)  कोभु  (खकघ)
यावरून, जर स आणि श यांचें फल ह असें मानिलें व ह चा स शीं होणारा कोन जर प मानिला तर, कख  = स, कघ   = श, खकग =  त  कग =  ह  खकग   =  प.
म्हणून ह२  =  स२ + श२ +  २ सश कोभु त   (१)
        श भुज त
स्पश प     = -----------------
        स + श का भु त      (२)

याप्रमाणें ह आणि प अनुक्रमें काढितां येतात.

(६) स्थ लां त रां चें वि यो ज न.-- असें दिलेल्या दोन स्थलांतरांचें संयोजन करून फलित स्थलांतर काढितां येतें तसेंच एखादें स्थलांतर व दोन दिशा दिल्या असतां त्या दिशांतील ज्या दोन स्थलांतरांचें दिलेलें स्थलांतर हें फलित स्थलांतर होईल, ती दोन स्थलांतरें काढितां येतात. या दाने स्थलांतरांस घटकस्थलांतरें म्हणतात व ती काढण्याच्या क्रियेस स्थलांतराचें वियोजन म्हणतात. वियोजनाची रीति अशी:-समजा कीं, कग हें दिलेलें स्थलांतर आहे (आ. नं. ३ पहा) व कड् आणि कड या दिलेल्या दिशा आहेत. ग मधून कउ व कइ यांशीं समांतर अशा गख आणि गघ या रेघा काढा त्या कइ  व कउ यांस अनुक्रमें ख आणि घ मध्यें मिळूं द्या. मग कख व कघ हीं कग वीं कइ, कउ या दिशांतील घटक स्थलांतरें होतील. कारण, समांतर-चतुर्भुज विधीनें कख, कघ या दोन स्थलांतरांचें कग हें फलित स्थलांतर होय.

(७) घ ट क स्थ लां त रा चें ग णि त.- दिलेलें स्थलांतर कग याची ह ही मिति समजूं, व दिलेल्या दिशा कइ, कड या कगशीं प आणि फ असे कोन करितात असें समजूं तसेंच कख आणि कघ या घटकांच्या स आणि श या मिती समजूं. मग, कखग त्रिकोणांत,

    (कख)    (खग)         (गक)
  ---------- = ------------ = -------------
भुज(कगख)     भुज (गकख)     भुज (कखग)
पण, कग =  ह, कख  =  स, खग =  कघ = श, व   गकख
= प, कगख  =  गकघ  = फ,
        कखग  =  १८०˚ - प - फ
         स      श      ह
म्हणून    ------------ = ---------- = ---------            (१)
     भुज फ     भुज प      भुज (प  फ)
           भुज  फ      भुज प
किंवा, स =  ह  ------     श = ह -----------  (२)
        भुज (प + फ)    भुज (प + फ)

याप्रमाणें घटकांच्या मिती गणितानें काढितां येतात.

(८) स्थ लां त रा चे वि शि ष्ट घ ट क.- दिलेल्या स्थलांतराचें ज्या दोन दिलेल्या दिशांतील घटक काढावयाचे त्या दिशांतील कोन जर काटकोन असेल तर त्या घटकांस विशिष्ट घटक असें म्हणतात. दिलेल्या कग स्थलांतराचा दिलेल्या कइ दिशेंतील विशिष्ट घटक काढण्यास गख ही ग पासून कइ वर लंब काढावी (आ. नं. ४ पहा) म्हणजे कख हा कग स्थलांतराचा कइ दिशेंतील विशिष्ट घटक होईल तसेंच कड जर कइशीं काटकोनांत काढली व गघ कउवर लंब काढिली तर कघ हा कखचा सहगाभी विशिष्ट घटक होईल.

(९) वि शि ष्ट घ ट कां चें ग णि त.- असें समजा कीं, कइ ही कगशीं प हा कोन करितें. मग जर कग   ह, कख   स आणि कघ =  श असें मानिलें, तर

      (कख)    स            (गख)    (कघ)    श
कोभु प    = -------- =----     भुज प    = --------- = -------- = ---
      (कग)        ह            (कग)    (कग)    ह
   म्हणून, स२ =  ह कोभु प, श  = ह भुज  प. (१) तसेंच (कख)२ + (कघ)२  = (कग)२ म्हणून, स२  +  श२ = ह२  (२)

(१०) दोहोंपेक्षां अधिक स्थलांतरांचें संयोजन.- अनेक गतिमान अधिष्ठानपरत्वें एकाच गतिमान बिंदुरूप पदार्थांचें स्थलांतर अनेक स्थलांतरांचा परिणाम असणें शक्य आहे. उदाहरणार्थ नदीच्या पाण्यावरील नांवेंत असलेल्या मनुष्याची गति घेऊं. जमिनीसंबंधानें त्या मनुष्याचें स्थलांतर तीन स्थलारांचें फल असेल पाण्याचें जमीनीसंबंधीं स्थलांतर, नावेचें पाण्यासंबंधी स्थलांतर व मनुष्याचें नावेंत स्थलांतर. हीं तीन स्थलांतरें मिति व दिशा यांविषयीं माहीत असतील तर मनुष्याचें जमिनीसंबंधीं जें फलित स्थलांतर तें काढतां येईल. तिहीपेक्षां अधिक स्थलांतरांसहि हीच गोष्ट लागू आहे. समजा कीं, हीं स्थलांतरें अशीं ठेविलीं कीं, जेथें पहिल्याचा शेवट तेथें दुसऱ्याचा आरंभ व्हावा, दुसऱ्याचा शेवट तेथें तिसऱ्याचा आरंभ व्हावा, इत्यादि. सोयीकरितां ४ स्थलांतरें घेऊन ती दर्शविणाऱ्या कख, खग, गघ, घच रेषा आपापल्या दिशांत वरीलप्रमाणें ठेविल्या (आ. नं. ५ पहा) तर कखगघच ही उघडी किंवा असंवृत बहुभुजाकृति होईल. आतां कख आणि खग यांचे फल कग होय. (त्रिकोणविधि). कग आणि गघ यांचें फल कघ होय. अर्थात, कख, खग, गघ यांचे फल कघ होय. तसेंच कघ व घच यांचें फल कच होय. अर्थात कख , खग, गघ, घच, यांचें फळ कच होय. म्हणजे कखगघच या असंवृत बहुभुजास संवृत (बंद) करणारी बाजू कच ही दिलेली चारी स्थलांतरांच्या फलित स्थलांतरांची दर्शन होय, असें सिद्ध झालें यावरून निष्पन्न होणारें तत्त्व असें; नियम:-गतिमान बिंदुरूप पदार्थांच्या अनेक स्थलांतरांचें फलित स्थलांतर काढण्यास, ती स्थलांतरेंमिति व दिशाविषयीं दर्शविणाऱ्या रेषा अशा काढाव्या कीं, जेथें एकीचा शेवट तेथेंच पुढलीचा आरंभ व्हावा. मग जो असंवृत बहुभुज तयार होईल त्याच्या आरंभापासून शेवटापर्यंत काढलेली त्यास संवृत करणारी बाजू सर्व स्थलांतरांचें फलमिति आणि दिशांसह दर्शवील. वरील नियमांतील क्रियेस स्थलांतरांचा बहुभुजविधि म्हणतात.

(११) ती न स्थ लां त रें.- अय, यग, गघ अशा तीन स्थलांतरांचें फल अघ हें होय. (आ. नं. ६ पहा) (बहुभुजविधि) उलटपक्षीं अघचे घटक अय, यग, गघ हे होत. आतां अय ही वाढवून अक रेषा कली व अ मधून अच, अट या यग, गघशीं समांतर काढल्या आणि अर, अल्, या यग, गघशीं समान केल्या तर अय, अर, अल या रेषा दिलेलीं तिन्ही स्थलांतरें मिति आणि दिशासह दर्शवितील व अघ ही अर्थात त्यांचें फल दर्शविते. अय, अर, अल या ज्याच्या निकटवर्ती बाजू आहेत असा जर समांतरखात अयगरलझघभ तयार केला तर अघ ही त्या खाताचा अ मधून जाणारा कर्ण होय. यावरून तत्त्व निष्पन्न होतें तें हें नियम:-एका बिंदूंतून तीन स्थलांतरांच्या निदर्शक अशा रेषा काढून त्या ज्याच्या निकटवर्ती बाजू होतील असा समांतरखाती तयार केला तर त्या खाताचा त्या बिंदूंतून जाणारा कर्ण हा त्या स्थलांतरांचें फल दर्शवितो. ह्यास समांतरखातविधि म्हणतात.

(१२) स्थ लां त रां चें ती न का ट को न ग र्भ दि शां त वि यो ज न.- अक, अच, अट या तीन काटकोनगर्भरेषा किंवा, अक्ष आहेत (आ. नं. ७ पहा) अघ - ह हें एक स्थलांतर आहे. अय , अर , अल अथवा स, श, ष हे त्याचे अक्षवर्ती घटक आहेत. तर अघ ही अय, अर, अल, या ज्याच्या निकटवर्ती बाजू आहेत अशा समांतरखाताचा अमधून काढिलेला कर्ण होईल, व तो समांतरखात काटकोनगर्भ होईल. जर अघ ही अक्षांशी अनुक्रमें त, थ, द, हे कोन करीत असेल तर, ज्याअर्थी घय, घर, घल ही समपृष्ठें अक, अच, अट या अक्षांशीं काटकोनांत आहेत, त्याअर्थी घय, घर, घल ह्या रेषांहि त्या अक्षांशीं काटकोनांत आहेत म्हणून अय  = अघ कोभु  त; किंवा स = ह कोभु त; तसेंच श = ह कोभु थ; थ = ह कोभु द.   (१) आणि, अघ२ =  अग२ +  अल२ =  अय२ +अर२ +  अल२
म्हणून    ह२  = स२ +  श २  + ष२    (२)
यांतील स, श, ष हे हं चे अक, अच, अट या तीन काटकोगर्भ अक्षदिशांतील विशिष्ट घटक होत.

(१३) अ ने क स्थ लां त रां च्या फ लां चें ग णि त.- समजा कीं, अक, अच, अट हे तीन काटकोनगर्भ अक्ष आहेंत; ह१ ह२ ह३ ...हन अशीं न स्थलांतरें आहेत; स१, स२, .....सन हे त्यांचे अक अक्षवर्ती विशिष्ट घटक आहेत. श१, श२ ... शन; आणि ष१, ष२ ... षन; आणि ष१, ष३ .... षन हे त्यांचे अनुक्रमे अच आणि अट अक्षवर्ती विशिष्ट घटक आहेत;  तसेच त१, थ१, द१; त२, थ२, द२, इत्यादि ह१, ह२, इ. स्थलांतराचें अनुक्रमें तिन्ही अक्षांशी होणारे कोन होत; तसेचं ह हें फल, स, श, ष हे त्याचे अक्षवर्ती विशिष्ट घटक आणि त१ थ, द हे त्याचे अक्षांशीं होणारे कोन होत.

आतां कलम १२ मधील आकृतींत (नं. ७) अय हा, अक रेषेचा लअर व घगय या, अ आणि घ मधून काढलेल्या अकशीं काटकोनांत असणाऱ्या, व म्हणून परस्परांशी समांतर असणाऱ्या, दोन समपृष्ठांमध्यें सापडलेला तुकडा होय. व अक रेषेशीं समांतर अशी दुसरी कोणतीहि रेषा काढिली तरी त्या दोन समपृष्ठांमध्यें तिचा अय एवढाच तुकडा सापडेल या तुकड्यास अघचा अकवरील प्रक्षेप म्हणतात. अघचा अक दिशेंतील विशिष्ट घटक म्हणजे अय प्रक्षेप होय.

आता जर अघ१ घ२ घ३ ...घन अशी असंवृत बहुजाकृति रेषा घेतली आणि अ१, घ१, घ२...घन यांतून अकशी काटकोन करणारीं समांतर समपृष्ठें काढली तर प्राप्त होणारे

प्रक्षेप अय१, य१ य२, य२ य३, ……. इत्यादिकांची बैजिक बेरीत अयन म्हणजे अघन चा प्रक्षेप होईल. म्हणून जर अघ१   =ह१, घ१ घ२ =  ह२ …… इ. स्थलांतरदर्शक रेषा मानिल्या तर
      स = स१ + स२ +……….+ सन
तसेंच, श = श१ + श२ +……….+ शन          (१)
आणि  प =  प१ +  प२ +……….+षन
आणि  ह२ = स२ + श२ + ष२        (२)
यावरून हवी किंमत कळेल. तसेंच कोभु  त  = स/४
कोभु   य = श/४    , कोभु द = प/ह        (३)
यावरून हचे अक्षांशीं होणारें कोन कळतील.
जर सर्व स्थलांतरें कअच या एकाच समपृष्ठांत असतील तर वरील (१)१   (२)१ आणि (३) हीं सूत्रें
स  =  स१  + स१ +……….+  सन        (१)
श  =  श१  + श२ +……….+  शन        (२)
ह२  =  स२  + श२
कोभु   त  = ग/ह  भु न  त  = श/ह         (३)
अशी होतील.

(१४) स्थ लां त रां च्या शू न्य फ ल त्वा चीं का र कें.- जर अनेक स्थलांतराचें फल गतिमान बिंदूत स्थिर ठेवणें हेंच असेल तर, वरील (३) या सूत्रांत ह = ० होईल. व ज्याअर्थी वर्ग हा नेहमीं धन असतो त्याअर्थी स = ०, श =  ०, प =  ० असें एकसमयीच असावयास पाहिजे. यावरून खालील नियम निघतो. नियम:-जर कोणत्याहि तीन काटकोन गर्भ रेषांतील विशिष्ट घटकांची बेरीज प्रत्येकी शून्य असेल तर स्थलांतरांचें फळहि शून्य असेल.

(१५) वेग - एकरूप वेग, व चलरूप वेग मध्यम वेग व स्पष्ट वेग.
गतिमान बिंदूचा मार्ग सरळ रेषा असून जर त्याचीं सर्वदा समान कालांतरात समान स्थलांतरें होत असतील तर त्याच्या गतीस एकरून गति असें म्हणतात. तसेंच कोणत्याहि दिलेल्या कालांतरांत झालेल्या स्थलांतरास त्या कालांतरानें भागून आलेल्या लब्धीस वेग म्हणतात. अर्थात वेग म्हणजे स्थलांतरवृद्धीचें दर कालैककांतील प्रमाण होय. एकरूप गतींतील वेगास एकरूप वेग म्हणतात. या खेरीज इतर प्रकारच्या गतीस व वेगास चलरूप गति व वेग म्हणतात. एका कालैककांत (उ. एका सेकंदांत) एक स्थलैकक (उ. एक फूट) इतकें स्थलांतर ज्या योगें होतें तो वेगाचा एकक होय.

समजा कीं, एका गतिमान बिंदूचा मार्ग इई ही वक्र रेषा आहे. (आ. नं. ८ पहा) इ हा त्या मार्गावरील एक निश्र्चित बिंदु आहे. गतिमान बिंदूचें क्ष या कालीं प, व ख या कालीं फ हीं स्थानें आहेत. ख-क्ष या कालांतरांत पफ हें स्थलांतर झालें म्हणून  पफ / ख- क्ष ५८   हा वेग होय. परंतु हा वेग एकरूप नाहीं, कारण गतिमार्ग सरळ नसून वक्र आहे शिवाय समान कालांत समान स्थलांतरें होतातच असेंहि नाहीं  प फ / ख – क्ष  या वेगानें जर पफ रेषेंत एकरूप गतीनें एखादा कल्पित बिंदु प पासून निघाला तर तो ख-क्ष कालांत फ पाशीं पोंचेल, म्हणजे दिलेला गतिमान बिंदु दिलेल्या चलगतीनें आपल्या वक्र मार्गांत प पासून निघून ख-क्ष कालांत जेथें पोंचेल तेथेंच तो कल्पित बिंदुहि पोंचेल. यामुळें प फ/ ख- क्ष  या लब्धीस पफ या वक्रखंडांतील सरासरी किंवा मध्यम वेग म्हणतात.
आतां१ जर फ हें स्थान प पासून दूर न घेतां जवळ म्हणजे ख१ (ख एकशिख) कालचें, फ१ (फ एकशिख) स्थान घेतलें, तर पफ वक्रखंडांतील मध्यम. वेग म्हणजे म्हणजे   प फ/ ख- क्ष    हा त्या वक्रखंडांतील कोणत्याहि भागांतल्या वेगाशीं अधिक तुल्यता पावेल. आणि जर फ२ (फ द्विशिख) फ२ (फ त्रिशिख) इ. ख२   ख३ इ. कालचीं अधिकाधिक जवळजवळचीं स्थानें घेतलीं तर पफ२, पफ२, इ. वक्रखंडांतील मध्यवेग त्या वक्रखंडांतील कोणत्याहि लहान मोठ्या भागांतल्या वेगाशीं जास्ती जास्ती तुल्यता पावूं लागतील. याप्रमाणें जेव्हां पफ हें स्थलांतर व ख-क्ष हें कालांतर हीं दोन्ही शून्यप्राय होतील, तेव्हां प्राप्त होणारी  प फ/ ख- क्ष   या मध्यम वेगाचीं किंमत हिलाच प या ठिकाणचा स्पष्टवेग असें म्हणतात. सामान्यत: अमुक एका बिंदुजवळचा वेग असें म्हटल्यानें स्पष्ट वेगाचाच उल्लेख होतो असे समजावें.

(१६) जेव्हां फ ही एक चलसंख्या असून च ही तिच्यावर अवलंबून असणारी दुसरी चलसंख्या असेल (म्हणजे जेव्हां कची किंमत दिल्यानें चची किंमत निश्र्चितपणें काढतां येते) तेव्हां च ला क चा प्रपंच म्हणतात, व क आणि च मधील संबंध च =  प्र (क) असें लिहून दाखवितात. यांत कला स्वाधीन चल आणि च ला पराधीन चल असें म्हणतात. जर ग ही एक निश्र्चित संख्या घेऊन कला अशा किंमती आपण देत गेलों कीं ग-क हें अंतर शून्य प्राय होईल, आणि जर आपणांस ज ही एक अशीं संख्या मिळाली कीं, जेव्हां ग-क हें अंतर शून्यप्राय होतें, जेव्हां ज-च हें अंतरहि शून्यप्राय होतें, तर ज ला क हा गशीं अभिप्राय होतेवेळची च ची सीमा म्हणतात. ही गोष्ट खालीलप्रमाणें लिहून दाखवितात:-
सीमा
    च   =  ज.
क =  ग
आतां गतिमान बिंदूची स्वमार्गांतील स्थलें कालावर अवलंबून असल्यामुळें पफ हें स्थलांतर काल म्हणजे ख या स्वाधीनचक्रावर अवलंबून आहे. अर्थात   ही लब्धि ख चा प्रपंच होय. आणि जर व हा प जवळचा स्पष्ट वेग मानिला, तर व हा      या प्रपंचाची खच्या क्षशी अभिन्नप्राय होतेवेळची सीमा होय. म्हणजे,
सीमा          स्थलांतर
     =    -------     =    वेग (स्प.वेग)
कालांतर   ०    कालांतर
जेव्हां प फ =  ०, तेव्हां प  फ ही छेदक रेषा पम या प जवळील स्पर्शरेषशीं अभिन्नप्राय होते. म्हणून प म ही स्पर्शरेषा व या वेगाची दिशा दर्शवितें.

(१७) उदाहरण:- सरळ रेषेंत गति असणाऱ्या बिंदूचें अया निश्र्चित बिंदुपासून क्ष कालचें स्थलांतर स आहे. व स चा क्ष शीं, स = १/२   गक्ष२, असा संबंध आहे. तर ग ही अचल संख्या असें मानून क्ष कालचा वेग काढा.
       दिलेल्या संबंधदर्शक समीकरणावरून जर क्ष१, स१, या क्ष स च्या सहगामी किमती असतील तर स =     गक्ष२ म्हणून  स१  -    ग   (क्ष१२  -  क्ष२)
    स१  -   स
म्हणून     ---------------  (क्ष१ + क्ष), म्हणून;
    क्ष१   क्ष

      सीमा            स१ -  स
वेग =             -----------   = ग  X २ क्ष  = ग क्ष
    क्ष२ =  क्ष      क्ष१ - क्ष
एखादा जड पदार्थ हातांतून सोडला तर त्याच्या पतनारंभबिंदूपासून फुटांत मोजलेलें त्यांचें स्थलांतर आणि पतनारंभकालापासून सेकंदांत मोजलेला काल याचा संबंध स = १/२  ग क्ष२ असाच आहे हें प्रयोग करून सिद्ध करितां येतें, /व त्यांत ग ची किंमत सुमारें ३२ येते. अर्थात क्ष काल चा वेग ३२ क्ष येतो. म्हणजे पडणाऱ्या पदार्थाचा पहिल्या, दुसऱ्या, तिसऱ्या, ...सेकंदांचे शेवटीं दर सेकंदास ३२; ६४, ९२, ....फूट असे वेग येतात.

(१८) वे गां चें सं यो ज न आ णि वि यो ज न.- वेग म्हणजे गतिमान बिंदूचें दर कालैककांत होणारें किंवा होऊं शकणारें स्थलांतर होय. अर्थात स्थलांतराप्रमाणेंच वेगहि सरळ रेषेनें दर्शवितां येतो. गतिमान बिंदु. भिति आणि दिशा अशी तीन वेगाची अंगे होत दिलेल्या वेगाच्या दिशेंत वेगमितीच्या प्रमाणांत काढिलेली सरळ रेषा, तो वेग मिती व दिशा सह दर्शवलि. यामुळें स्थलांतराच्या संयोजन वियोजनाचे सर्व नियम वेगांच्या संयोजन वियोजनास लागू पडतात. ते नियम असे.

(अ) गतिमान बिंदूस (अधिष्ठानें दोन असल्यामुळें) दोन वेग असले तर त्यांस मिति व दिशासह दर्शविणाऱ्या रेषा अशा ठेवाव्या कीं, जेथें एकीचा शेवट तेथेंच दुसरीचा आरंभ होईल. मग पहिलीच्या आरंभापासून दुसरीच्या शेवटापर्यंत काढलेली रेषा दोन्ही वेगांचा फलित वेग मिति व दिशा यांसह दर्शवील.
हा वेगांचा त्रिभुजविधि होय.

(आ) गतिमान बिंदूस दोन वेग असतील, तर कोणत्याहि इष्ट बिंदूपासून त्यांच्या निदर्शक रेषा काढाव्या, व त्या ज्याच्या निकटवर्ती बाजू होतील असा समांतरचतुर्भुज तयार करावा. मग त्या चतुर्भुजाचा त्या इष्ट बिंदूंतून काढिलेला कर्ण हा दिलेल्या दोन वेगाचें फल मिती व दिशांसह दर्शवील.
हा वेगांचा समांतर चतुर्भुजविधि होय.

(इ) गतिमान बिंदूस अनेक वेग असतील तर त्यांच्या निदर्शक रेषा अशा काढाव्या कीं जेथें एक संपेल तेथें पुढील सुरू होईल. याप्रमाणें केल्यावर जो असंवृत बहुभुज तयार होईल त्यांस संवृत करणारी आरंभापासून शेवटापर्यंत काढिलेली रेषा दिलेल्या वेगांचें फल मिति व दिशा यांसह दर्शवील.

हा वेगांचा समांतर बहुभुजविधि होय.

(ई) य आणि र अशा दोन वेगांच्या दिशांतील कोनात आहे. आणि व त्या वेगाचें फल आहे आणि त्या फलाची दिशा य वेगाच्या दिशेशी प हा कोन करिते. तर
व२  =  य +  र२ + २ य र कोभु त     (१)
          र भुज त
स्पर्श प  = ----------------------              (२)
        य + र  कोभु   त

(उ) जर व या वेगाचे दोन घटक य आणि र यांच्या दिशा व च्या दिशेशीं प आणि फ असे कोन करीत असतील तर
       य           र        व
       --------- = --------- = --------------
    भुज  फ    भुज  प    भुज  (प + फ)

झर फ =  ९०˚   प, तर, य, र हे व चे विशिष्ट घटक होतील आणि य =  व कोभु प असें होईल.
तसेंच य२ =   व२ + र२

(ऊ) जर व या वेगाचे य, र, ल, असे घटक अक, अच, अट या काटकोनगर्भअक्षांशीं समांतर असे असतील, आणि वची दिशा अक्ष दिशांशी त, थ, द असे कोन करीत असेल, तर

य =  व  कोभु त, र   = व कोभु थ, ल  =  व कोभु द. आणि व२ =   य२ + र२ + ल२.

(ॠ) जर, एका बिंदूस व१ व२ व३ ...वन असे न वेग असतील आणि य१, र१, ल१; य२ र२ ल२; इ व१, व२; इ वेगांचे अक्ष समांतर विशिष्ट घटक असतील, तर, वेगाचे फल व आणि त्या फलाच्या दिशेचे अक्ष दिशांशी होणारे कोन त, थ, द, हीं खालील सूत्रांनीं निघतात:-
य =  व कोभु   त = य१ +  य२ +  य३  .... + यन
र  =  व कोभु   थ  = र१ +   र२ +  र३  ... + रन
ल   =  कोभु   द  =  ल +   ल२  + ल२  + लन
व२ =  य२ +  र२ +  ल२
(ॠ) शू न्य वे ग त्वा ची का र कें:-य =  य१ +  य२  +   ... यन  =  ०,   व =  व१ +  व२ +…….+ धन  = ०   र =  र१ +  र२ +…..+ रन  = ०

(१९) प्रवेग- एकरूप आणि चलरूप प्रवेग.
प्रवेग म्हणजे वेगवृद्धीचें दर कालैककांतील प्रमाण होय. जर समान कालांतरांत समान वेगांतर होत असेल आणि तें वेगांतर सर्वदां एकाच दिशेंत होत असेल, तर कोणत्याहि कालांतरांत पडलेल्या वेगांतरास त्या कालांतरानें भागून येणारें वेगवृद्धीचें प्रतिकालैककांतील प्रमाण म्हणजे गतिमान बिंदूचा प्रवेग हा सर्वदां तोंच म्हणजे अचल राहील अशा प्रवेगास एकरूप प्रवेग असें म्हणतात.

परंतु प्रवेग हा बहुधां एकरूप असत नाहीं. अशावेळीं जर क्ष या काली व हा वेग असेल आणि क्ष१ या काली व१ हा वेग असेल आणि त्रिभुजविधीनें व१ आणि व यांतील नंतर य असें येत असेल (म्हणजे व आणि य या वेगांचें फल व१ असेल) तर य / क्ष१- क्ष  ही लब्धि गतिमान बिंदुचा क्ष१ - क्ष या कालांतरांतील मध्यम प्रवेग होय. मग जर क्ष, हा क्ष शीं अभिन्नप्राय केला तर  य / क्ष१ – क्ष या लब्धीची सीमा हीच क्ष कालचा प्रवेश होय. म्हणजे,
  सीमा       वेगांतर
           =  ---------- =    प्रवेग
कालांतर          कालांतर     

(२०) ज्याअर्थी प्रवेग हा प्रति कालैककांत होणारें वेगांतर म्हणजे वेग व होय त्याअर्थी वेगाप्रमाणें प्रवेगहिे मिति व दिशा यांसह सरळ रेषेनें दर्शवितां येतो; आणि म्हणून वेगांच्या संयोजन वियोजनाचे सर्व नियम व गणित ही प्रवेगाचया संयोजन वियोजनासहि लागूं पडतात. कलम १८ मध्यें वेग याठिकाणीं प्रवेग असें वाचल्यास हे नियम व गणित सिद्ध होतील.

(२१) ए क रू प प्र वे गा नें स र ळ रे षें त हो णा री ग ति-- समजा कीं क अ क या सरळ रेषेंत अ पाशीं गतिमान बिंदु असतां त्याचा वेग य आहे. व बिंदूचा प्रवेग एकरूप असून  इतका आहे. तर अ पाशीं असण्याच्या वेळेपासून क्ष इतक्या कालानें त्याचा झालेला वेग (व) आणि त्याचें झालेलें स्थलांतर (स) काढावयाचें आहे.

प्रवेग एकरूप असल्यानें क्ष कालांत ग X क्ष वेगांतर होईल. म्हणून   व  =  य + ग  क्ष,

आतां क्ष कालाचा मध्य क्ष /२  हा काल होय. त्या वेळचा वेग य + ग क्ष /२  इतका म्हणजे य१ आहे. क्ष कालाच्या मध्यापूर्वी क्ष/२- ख या कालीं बिंदूचा वेग य + ग (क्ष/२- ख) इतका  म्हणजे य१ -  ग   ख आहे. आणि मध्यानंतर क्ष/२+ ख या खाली य१ + ग ख आहे म्हणजे क्ष/२ या मध्यापासून पूर्वी व पुढें समान काल घेतले तर पूर्वीच्या कालींचा बिंदूचा वेग  य१ पेक्षां जितका कमी तितकाच पुढील कालवा वेग अधिक असणार अर्थात, संबंध क्ष कालांत जर य१, या एकरूप वेगानें बिंदु चालत आहे असें समजलें तर होणारें स्थलांतर, ग या प्रवेगयुक्त गतीनें होणाऱ्या स्थलांतराइतकें होईल. कारण य१ पेक्षां कमी वेगानें क्ष/२ या मध्यकालापूर्वी होणारी स्थलांतरहानि, या मध्यकालानंतरच्या पुढील य१ पेक्षां अधिक वेगामुळें होणाऱ्या स्थलांतरलाभामुळें भरून निघेल म्हणून क्ष कालांत
स्थलांतर य१  X क्ष =  (य + ग क्ष /२  )  क्ष =  य क्ष + १/२ ग   क्ष२  इतकें होईल.  
तेव्हां स  =  यक्ष   +  ½ ग क्ष२
यावरून    २ ग स  =  २ ग य क्ष  +  ग२   क्ष२
य२  +  २ गस  =  य२  + २ ग य क्ष  +  ग२ क्ष२
(य  +  ग  क्ष)२
(१)    वरून,  व२ =  य२  +  २ ग स    (३)

(२२) पृथ्वीच्या पृष्ठभागावरून एखादा बिंदुप्राय पदार्थ कोणत्याहि दिशेंत फेकला तर त्याचा प्रवेग (बहुतांशीं) एकरूप असतो. तो फूट व सेकंद हे स्थलैकक व कालैकक मानिले असतां सुमारें ३२ इतका असतो. म्हणजे दर सेकंदांत ३२ फूट इतका वेग ज्या योगें दर सेकंदांत वाढेल असा तो प्रवेग असतो. याची दिशा पृथ्वीच्या मध्यबिंदूकडे म्हणजे अधरदिशा असते व ती अर्थात भूपृष्ठाशी लंबरूप असते. अधरदिशेचा ३२ प्रवेग म्हणजे ऊर्ध्वदिशेचा  -  ३२  (ॠण) प्रवेग होय हें उघड आहे.
बिंदुप्राय जड पदार्थ ऊर्ध्व दिशेंत  भूपृष्ठापासून य वेगानें फेकला तर क्ष कालीं ऊर्ध्व दिशेंत त्याचा वेग व हा व   ३२ -क्ष होईल. म्हणजे
व  =  य  -   ३२ क्ष    (१)
तसेंच स हें क्ष कालांती ऊर्ध्व दिशेंतील स्थलांतर मानिल्यास
         स   =  य क्ष  -  १६ क्ष२
आणि    व२ =  व२ -  ६४ स
(१) वरून असें दिसतें कीं फेकलेला जड पदार्थ जेव्हां वरा जाण्याचें थांबतो तेव्हां क्ष = य/३२  इतका काल होतो. आणि याच्या दुप्पट कालांत, म्हणजे क्ष = य/३२ इतक्या कालांत, वेग - य म्हणजे अधर दिशेंत य इतका येतो. तसेंच (२) वरून य/३२   इतक्या कालांत  य२/६४ इतकें स्थलांतर होतें म्हणजे, य या वेगानें ऊर्ध्व दिशेंत फेकलेला पदार्थ  य२/६४  इतके फूट चढतो ही गोष्ट व  =  ० घालून (३) वरूनहि उघड होते.

(२३) ए क रू प प्र वे गा च्या यो गें व क्र मा र्गा त हो णा री ग ति.- समजा कीं, अक. अच  हे दोन काटकोनगर्भ अक्ष गतिमान बिंदूच्या मार्गातील अ या निश्र्चित बिंदूंतून काढिले (आ. नं. ९ पहा) ते असे कीं गतिमान बिंदूचा एकरूप प्रवेग ग ह्याची नियत दिशा अच अक्षाशीं समांतर आहे, आणि अ जवळील य हा वेग अम दिशेंत असून ती दिशा अक अक्षांशींत कोन करिते. तर अपाशीं असल्या वेळेपासून क्ष काल गेल्यानंतर गतिमान बिंदूचें स्थान, त्याचा वेग आणि मार्ग हे काढावयाचे.
 
आतां य या वेगाचे अक्षांशीं विशिष्ट घटक य कोभु त आणि य भुत त असे आहेत. तसेंच ग या प्रवेगाचे अक्षसमांतर विशिष्ट घटक  ० आणि ग असे आहेत. म्हणजे अक दिशेंत असलेला य कोभु त हा घटक त्या दिशेंत प्रवेग ० असल्यामुळें एकरूप राहणरा; म्हणजे क्ष या कालीं गतिमान बिंदूचा जो वेग असेल त्याचा अक अक्षाशीं समांतर असा घटक य कोभु त इतकाच असणार . परंतु अच दिशेंत असलेला घटक य भुज त हा मात्र त्या दिशेंतील ग या प्रवेगामुळें क्ष कालांत व भुज  त + गक्ष इतका होणार म्हणजे क्ष कालांतीचा वेग जर व मानिला तर
व२  =  (य कोभु त)२  +  (य  भुज त + ग   क्ष)२
    =  य२  (कोभु२   त  + भुज२त) +   २ गक्षय  भुज   त + ग  क्ष२
    =  य२ +  २ गक्षय भुज   त  +  ग२क्ष२    (१)
आणि जर व ची दिशा अक शीं थ कोन करीत असेल तर
           य भु ज त  + गक्ष
स्पर्श   थ  = ----------------------
             य कोभु त


तसेंच ज्याअर्थी अनेक स्थलांतरांचें फल काढितांना त्या स्थलांतरांचा अनुक्रम वाटेल तो घेतला तरी फल तेंच येतें, त्याअर्थी, प्रथमत: अक दिशेंतील वेगामुळें झालेलें स्थलांतर व मग अच दिशेंतील प्रवेगयुक्त वेगानें झालेलें स्थलांतर काढून क्ष कालची गतिमान बिंदूची स्थिति काढिली तरी चालेल.
जर, क्ष कालच्या प या स्थितीचे सहनिदर्शक   क, च  असे मानिले

     तर क  =  य कोभु त क्ष   (३)
              क
यावरून  क्ष = -------------           (४)
           य कोभु त

तसेंच च = भुज त X  क्ष +  १/२ गक्ष२   (५)
या प्रमाणें क्ष कालचे सहनिदर्शक कळले. आतां जर मार्ग समीकरण काढणें असेल तर क च यांचा सार्वकालिक संबंध काढिला पाहिजे. त्याकरितां (४) वरून येणारी क्ष ची किंमत (५) मध्यें घालावी, म्हणजे,
    ग
च  =  क  स्पर्श  त  + १/२  क२   ----------------------
                     य२ कोमु२ त

हें गतिमान बिंदूच्या मार्गाचें समीकरण झालें.
या समीकरणांत क आणि च यांशीं संबद्ध असें एकाच द्विकोटिक पद आहे आणि तें वर्गरूप आहे. शंकुछिन्नवक्रांचे वृत्त, उपवृत्त, परवृत्त आणि अतिवृत्त असे जे प्रकार त्यांपैकी परवृत्ताच्या आकाराचा गतिमान बिंदूचा मार्ग होय हें उघड होय.
(६) हें समीकरण,
य२भुज त कोभु त        २य२कोभुत            १ य१भुज२ त
 क + ------------------------------  = ------------------------ X  च + ----------------------
        ग               ग                २  ग

असें लिहिलें तर या परवृत्ताचें शिखर
      य२भुज त कोभु त १  ग२भुज२त
-      ------------------ - -- ----------------        हा बिंदु
       ग         २      ग


        य२ कोभु२ त
आणि केंदायाति    ------------------------ इतकी येते.
               ग

(२४) क्षे प क क्षा.-- भूपृष्ठावरून कोणत्याहि दिशेंत फेकलेल्या बिंदुप्राय पदार्थाचा प्रवेग अधर दिशेंत असून त्याने दर सेकंदांत दर सेकंदात ३२ फूट (सुमारें इतकी वेगवृद्धी होते; अर्थांत ऊर्ध्व दिशेंत प्रवेग ॠण म्हणजे ३२ इतका असतो.
समजा कीं, अक, अच हें अनुक्रमें भूतलसमांतर आणि ऊर्ध्वग असे अक्ष भूपृष्ठावरील अ बिंदूंतून जाणारे आहेत. (आकृति नं. १० पहा) व कअव या समपृष्ठांत अ बिंदूपासून अकशीं त कोन करणाऱ्या य वेगानें एक जड कण (बिंदूप्राय पदार्थ) फेकिला आहे. तर य चे आरंभीचे अक्षवर्ती विशिष्ट घटक य कोभु त आणि य भुज त असे असतील आणि जर त्या कणाचे क्ष कालचे विशिष्ट घटक र आणि ल असे मानिले तर,
      र   =    य    कोभु   त
आणि ल  =  य   भुज   त  -    गक्ष, (ग  =  ३२)

जेव्हां गतिमान कण आपल्या मार्गाच्या अत्युच्च स्थानी म्हणजे शि या ठिकाणीं जाईल तेव्हा त्याच ऊर्ध्व दिशेंतील वेग ल हा  ० असेल.
०   =   य   भुज    त  - ग क्ष
        य भुज त
क्ष   = ------------
          ग                        (१)

म्हणून गतिमान बिंदू अत्युच्च स्यलीं जाण्यास  यभुजत / ग  इतका वेळ लागतो. याच्या दुप्पट वेळांत, गतिमान बिंदूचें ऊर्ध्व दिशेंत स्थलांतर.
             २ य भुज त  १          २ य भुज त
य भुज त   x ------------- = --  ग  X  ---------------------   =    
                 ग      २              ग  

इतकें होईल म्हणजे तो कण पुन्हां भूपृष्ठावर आ येथें पडेल
अर्थांत अ आ हें भूतलस्थ अंतर किंवा प्रक्षिप्त कणाचा आक्रम किंवा पल्ला
             २ य भुज त १  य२भुज २ त
य कोभु त  X --------------- = -----------------    इतका होय.
                 ग           ग

म्हणून

            २ य भुज त                    य२भुज२त
आक्रमकाल = ---------------,  आक्रमामिति  = --------------------        (२)
                ग                           ग
जेव्हां त  .  ४५० असेल, तेव्हां भुज २ त =  १; म्हणून महत्तम आक्रम  = य२/ग      (१)
क्षिप्त कणाचा मार्ग किंवा क्षेपकक्षा काढण्यास व ल   (२३) मधील (६) व्या समीकरणात ग बद्दल ग घालावा म्हणजे परवृत्ताकार क्षेपकक्षेचें
                              गक२   
च =  क   स्पर्श  त   - ½ -----------------
                           य२कोभु२ त

असें समीकरण येतें.
(२५) परिवेग आणि परिप्रवेग.
समपृष्ठस्थ वक्रमार्गात गतिमान बिंदु चालत असतां त्या पृष्ठांतील कोणत्याहि निश्र्चित व निश्र्चल मूलबिंदूपासून गतिमान् बिंदूपर्यंत काढिलेली रेषा व त्या बिंदूचा कर्ण होय व त्या मूल बिंदूतून काढिलेल्या निश्र्चल अशा मूलरेषेंशीं तो कर्ण जो कोन करितो, त्या कोनाची दर कालैककांत होणारी वृद्धि म्हणजे गतिमान बिंदूचा मूल बिंदूभोंवतीं परिवेग होय. (आ. नं. ११ पहा.)
अ हा मूलबिंदू, इ ई हा गतिमार्ग प, प१ ही क्ष, क्ष१ कालची गतिमान बिंदूची स्थानें थ, थ१ हे प, प१ या बिंदूच्या कर्णांनीं अ क  या मूलरेषेशीं केलेले कोन असें मानिलें तर,
                                 थ१   --- थ
प प१ वक्रखंडांतील मध्यम परिवेग = -------------------   हा होय.
                    ख३  ---- ख    

                            सीमा         थ १ – थ
प बिंदूपाशीं (स्पष्ट) परिवेग  = -----------     ----------------- =    छ
                          क्ष१ = क्ष२       क्ष१  क्ष

जेव्हां समान कालांतरांत समान कोनवृद्धि सर्वदा होत असेल तेव्हां येणाऱ्या परिवेगास एकरूप परिवेग म्हणतात.
गतिमान बिंदुच्या परिवेगाची दर कलैककांत होणारी वृद्धी म्हणजे परिप्रवेग होय.
जर छ, छ१ हे प, प१ या ठिकाणचे परिवेग मानिले तर
                                   छ१  छ
प   प१ वक्रखंडांत मध्यम परिप्रवेग = ----------------        हा होय.
                       क्ष१ क्ष

सीमा         छ १ – छ
प बिंदूपाशीं (स्पष्ट) परिवेग  = -----------     ----------------- =    झ
                          क्ष१ = क्ष२       क्ष१  क्ष
      हा होय.
(२६) वृत्ताकार कक्षेंतील एकरूप परिवेगयुक्त गति.
कोनमापनाचा एकक त्रिज्यासम वृत्तखंडाच्या अभिमुख असा मध्यापाशीं होणारा कोन जो त्रिज्यामुख तो घेऊं. मग कक्षेचा मध्य अ आणि गतिमान बिंदूचा कर्ण अप ( = र)  असा घेतला; क्ष कालांत कर्णानें आक्रमिलेला कोन जर थ असला, आणि बिंदूचा एकरूप परिवेग छ आणि प पाशीं वेग च असला, तर
    थ          क्ष कालांत आक्रमिलेले वृत्तखंड
छ =  ----   थ =  -----------------------------------------
    क्ष                     र

        क्ष कालांत आक्रमिलेलें वृत्तखंड      थ
म्हणून      ----------------------------------------  =  -----    = छर
क्ष                क्ष    

यांत जर क्ष शून्यप्राय केला, तर डावीकडील लब्धी व हा वेग होईल व त्याची दिशा वृत्ताच्या स्पर्शरेषेंत असेल तेव्हां
व =  छर                    (१)
याप्रमाणें एकरूप परिवेगावरून वेग काढितां येतो, या व वेगाची मिति वृत्तांत सर्वत्र तीच रहातें दिशा मात्र बदलते. म्हणून व हा वेग एकरूप नाहीं, त्याची मिति मात्र एकरूप आहे.
आतां वृत्ताकार कक्षेंत प आणि प१ हीं  आणि क्ष१  कालचीं स्थानें घेतली. आणि पप१ ह्या वृत्तखंडांची लांबी
श मानिली व प अ प     हा कोन ध मानिला तर ध = श / र , होईल; मग क्ष१ -  क्ष कालांत प स्थानांच्या स्पर्शरेषेच्या दिशेंत व कोभु ध व हा वेगवृद्धि होईल. व मध्यभिमुक दिशेंत व भुज ध ही वेगवृद्धी होईल. म्हणून

                 सीमा          व कोभु  ध-व
स्पर्शदिशेंतील प्रवेग  ---------     --------------------------- = ०     होईल, कारण
                 क्ष१=क्ष          क्ष१ – क्ष
जेव्हां    क्ष१ =   क्ष होतो तेव्हा ध  =  ० होतो आणि कोभु ध  = १ होतो. तसेंच मध्याभिमुख दिशेंतील प्रवेग
   व भुज  ध
-------------------  या लब्धीची क्ष१ =  क्ष होते वेळची सीमा होय.
   क्ष१ – क्ष
                           भुज ध      ध
 आतां वरील लब्धि  =  व    ---------  x  ----------
                            ध        अ१ – अ

म्हणून जेव्हा क्ष१  =  क्ष असतो तेव्हां मध्याभिमुख प्रवेग

                      व२
= व X  १ X छ =  वछ = ----
                   २

वृत्तांतील एकरूप परिवेग युक्त येतीत,
मध्याभिमुख प्रवेग  = थ२ / ९   किंवा   रछ२    (२)
स्पर्शदिशेंत प्रवेग =   ०
असे प्रवेगाचे घटक असतात.
(२७) क्षेत्रीय वेग.
कलम (२५) मधील आकृतीत क्ष१ क्ष कालांत प अ प१, हें क्षेत्र कर्णाकडून व्यापिलें जातें. एका कालैकांतील क्षेत्रव्याप्ति हा क्षेत्रीय वेग होय. आतां

क्षे त्र   प अ प १ = ¼  रर१ भुज पअप१
क्षेत्रीय मध्यम वेग =
१          भुज पअप१         १     अ उ प प१
---- र र१ X ---------------  किंवा -----  -----------------
२           क्ष१    क्ष          २     क्ष१-क्ष

मग क्ष१ हा क्ष शीं अभिन्न प्राय केला तर,

           भुज  पअप१       पअप१
 र१  =  र, -------------   -१    --------- = छ
             पअप१         क्ष १  क्ष

                                                    प प१
तसेंच अउ =  द =  स्पर्शरेषेवर अ पासून काढलेला लंब आणि ------------    व अशा सीमा येतात, म्हणून
                                क्ष १ –क्ष
प स्थानाचा क्षेत्रीय वेग  = ½  र२ छ किंवा १/२ व द.
(२८) वसु प्रेरक.
ज्यास आपण जड पदार्थ म्हणतो ते सर्व ज्याचे बनतात त्या तत्त्वास वसु असें म्हणतात. वसूचा परिमेघराशि म्हणजे पदार्थ होय. बिंदुप्राय वसुमय पदार्थ म्हणजे कण होय.
ज्या योगें पदार्थास गति उत्पन्न होते किंवा तो गत्युन्मुख होतो त्या प्रेरक म्हणतात वसु आणि प्रेरक या परस्परावलंबी गोष्टी असून एकाचें ज्ञान होण्यास त्याचा दुसऱ्याशीं असलेला संबंध कळावयास पाहिजे.
वसूचा एकक आणि प्रेरकाचा एकक यांचा संबंध असा समजतात कीं, वसूच्या एककांत प्रवेगाचा एकक उत्पन्न करणारा जो प्रेरक तो प्रेरकाचा एकक होय. तसेंच प्रेरकाच्या एककानें ज्यांत प्रवेगाचा एकक उत्पन्न होईल तो वसूचा एकक होय.

प्रेरक आणि तो ज्या पदार्थावर क्रिया करतो त्याची गति यासंबंधीं जे नैसर्गिक नियम ते न्यूटननें तीन सूत्रांत सिद्धांत रूपानें ग्रथित केले आहेत. या सूत्रांत वेगवल या संज्ञेनें वेग आणि वसु यांच्या मितीचा गुणाकार विवक्षित आहे. वेगैकानें गतिमान असलेल्या वस्वैकाचें वेगवल एक मानिलें तर व वेगानें गतिमान असलेल्या स्व इतक्या वसूचें वेगवल व   स्व इतकें होईल.
(२९) न्यू ट न चे ग ति सि द्धां त.--सिद्धांत १ ला:-पदार्थाची वेगशून्य अवस्था किंवा सरळ रेषेंतील एकरूप वेगोनें गतिमान असण्याची अव्था ही त्या अवस्थेंत अवश्यमेव विकृति उत्पन्न करणा-या बहि:प्रयुक्त प्रेरकांच्या अभावीं, जशीच्या तशीच चालू रहातें.
सिद्धांत २ रा:-पदार्थाच्या वेगबलाच्या वृद्धीचें प्रमाण बहि:प्रयुक्त प्रेरकाशीं प्रमाणांत असतें आणि ज्या दिशेंत प्रेरक पदार्थांवर प्रयुक्त असतो त्याच दिशेंत ती वृद्धीची क्रिया घडते.

सिद्धांत ३ रा:- प्रत्येक क्रियेस त्या क्रियेशीं समान व विरुद्ध दिशेंत असलेली प्रतिक्रिया, अवश्य संबद्ध असते.

(३०) यांतील पहिला सिद्धांत हा वस्तुत: प्रेरक म्हणजे काय याची व्याख्या होय. ज्यानें वेगशून्य अवस्था किंवा सरळ रेषेंतील एकरूप वेगात्मक अशी गतियुक्त अवस्था विकृति पावते तो प्रेरक होय.
तसेंच, पहिल्या सिद्धांतावरून असेंहि कळतें कीं, जर कोणत्याहि प्रेरकाची क्रिया पदार्थावर घडत नसेल तर तो पदार्थ आपल्या मूळच्या स्थिर किंवा वेगशून्य अवस्थेंत राहील किंवा सरळ रेषेंतील आपल्या मूळच्या एकरूप वेगात्मक अशा गतियुक्त अवस्थेंत राहील. दुसऱ्या सिद्धांतावरून असें निष्पन्न होतें कीं प्रेरकानें वेगबलाची वृद्धि होते आणि ती प्रेरकाच्या प्रमाणांत असते अर्थात, जर गतिमान पदार्थातील वसु स्व मानिलें आणि क्ष, क्ष१ या कालीं त्या पदार्थाचे वेग व, व१ मानिले तर वेगबलवृद्धतीचें प्रमाण,
स्व (व१-व)
-------------
क्ष १ – क्ष
      इतकें आलें. यात जर क्ष१ हा क्ष शी अभिन्नप्राय केला तर, हें प्रमाण स्व X  ग असें होतें. यांत ग हा क्ष कालचा गतिमान पदार्थाचा प्रवेग होय. मग जर प्र हा प्रेरक मानिला तर प्र =  जस्वग असें समीकरण झालें. यांत ज ही एक निश्र्चित अचल संख्या होय. जर प्रेरकाच्या एकककाची वर दिलेली व्याख्या घेतली तर जेव्हां स्व  =  १ आणि ग  =  १ असेल तेव्हां प्र  = १ असतो, म्हणून ज  =  १ असेल म्हणून.
    प्र  =  स्व ग.
अथवा, प्रेरक =    वसु  X प्रवेग    (१)
असें समीकरण सिद्ध झालें.
तसेंच, दुसऱ्या सिद्धांतावरून हेंहि कळतें कीं प्रेरक व तत्रिर्मित प्रवेग यांच्या दिशा एकच असतात, आणि जर एकाच पदार्थावर दोन प्रेरक क्रिया करीत असले तर प्रत्येक प्रेरक जणूं काय दुसरा प्रेरक नाहींत अशा तऱ्हेनें आपली क्रिया करीत असतो. तिसऱ्या सिद्धांताचा अनुभव सर्वांस येतोच. जेव्हां आपण दुसऱ्या पदार्थास धक्का देतों तेव्हां तो पदार्थहि उलट तितक्याच जोरानें आपणांस धक्का देतो. यांतील तत्व या सिद्धांतांत प्रथित केलें आहे.
(३१) प्रे र कां चें सं यो ज न आ णि नि यो ज न.-प्रत्येक प्रेरकास त्याचा प्रयोगबिंदु, मिति आणि दिशा अशी तीन अंगें असतात. म्हणून, एखाद्या बिंदूतून दिलेल्या प्रेरकाच्या मितीच्या प्रमाणांत व त्याच्या दिशेत काढिलेल्या रेषेनें दिलेला प्रेरक दर्शवितां येतो. एकाच कणावर प्रयुक्त असलेले अनेक प्रेरक तन्निर्मित प्रवेगांशीं प्रमाणांत असतात हें कलम (३०) मधील (१) या समीकरणावरून स्पष्ट होतें. अर्थात या प्रवेगांच्या निदर्शक रेषा प्रेरकांच्याहि निदर्शक असणारच. म्हणून प्रवेगांच्या संयोजनवियोनाचे सर्व नियम प्रेरकांच्या संयोजनवियोजनास लागू होतील. हे नियम कलम (१८) मध्यें वेग या शब्दाच्या जागीं प्रेरक शब्द योजिला तर सिद्ध होतील.

(३२) व ज न. पृथ्वीच्या आकर्षणामुळें तिच्या पृष्ठावरील प्रत्येक पदार्थांत दर सेकंदास ग = ३२ फुटांचा वेग वाढविणारा प्रवेग उत्पन्न होतो. म्हणजे ज्यांत वसु स्व पौंड आहे त्या पदार्थावर पृथ्वीचें आकर्षण स्व ग इतकें असतें; म्हणजे  हें त्या पदार्थाचें वजन झाले.  यांत वजनाचा एकक म्हणजे प्रेरकाचा एकक होय. ज्या प्रेरकानें १ पौंड वसंत दर सेकंदास १ फूट असा प्रवेग उत्पन्न होतो तो हा प्रेरकाचा एकक होय. त्यास पौंडल म्हणतात.
आतां स्व पौंड वसूचें वजन. स्वग पौंडल असतें. म्हणजे १ पौंड वसूचें वजन. ग ( = सु. ३२) पौंडल असतें. लंडनमध्ये मोठ्या बंदोबस्तांत ठेविलेला एक धातूचा गोळा आहे, त्यांतील वसु हा पौंड या नांवाचा वस्वैकक मानण्यांत येतो.
(३३) एका वजनरहित बारीक दोरीच्या दोन टोकांस स्व१ आणि स्व२ असें ज्यांत वसू आहेत असे कण लावून तो दोरी एका घर्षणरहित फिरत्या कप्पीवर ठेविली तर त्या दोरीची गति व तिचा ताण हे काढावयाचे (आकृति १२ पहा). जर ट हा दोरीचा सर्वत्र सम असा ताण मानिला, व घ हा दोरीचा प्रवेग मानिला, व त्याची दिशा स्व१ या कणास खालीं नेणारी मानिली, तर स्व१च्या गतीचें समीकरण,
स्व१ ग  -  ट =  स्व१  घ (१)
तसेंच स्व२ च्या गतीचें समीकरण.
ट -   स्व२ ग  =   स्व२   घ       (२)
यावरून , (स्व१  -  स्व२) ग  = (स्व१ +  स्व२) घ,
स्व१  -   स्व२
घ =    -----------------     ग    (३)
    स्व१ +   स्व२

तसेंच     स्व१ स्व१ ग  - स्व२ट  =    स्व१ ट   -   स्व१स्व२ग,
    २स्व१ स्व२
ट = ------------------ ग    (४)
    स्व१ +  स्व२

या प्रमाणें घ आणि ट हें कळतील.

(३३ अ) उतरता फलक.
(अ) भूतलाशीं त कोन करणाऱ्या घर्षणरहित फलकावर ज वजनाचा कण आहे. त्यास एक फलकवर्ती प प्रेरक लावून फलकावर स्थिर ठेवावयाचें आहे. तर तो प्रेरक केवढा असावा व कणांचा फलकावरील दाब र हा किती तें काढावाचें (१३ आकृति पहा.)
घर्षणरहित फलकावर कणाचा दाब लंबरूप दिशेंत असतो. अर्थात् फलकाची त्यावर प्रतिक्रिया त्याच दिशेंत असणार आतां    ज क र   =  १८०˚. त,      ज क प =  ९०˚ +  त   प क र  = ९०˚ (आकृति अ) ज्या अर्थी प हा ज आणि र यांच्या फलाचा विनाशक प्रेरक आहे त्या अर्थी त्या फलाची व प ची भिती या समान आहेत.
       प         र
म्हणून     ------- =  ----------     = ज (त्रिभुजविधि)    (१)
    भुज त     कोभु त

    यावरून प आणि र निघतील.
(आ) जर प हा प्रेरक भूतलसमांतर दिशेंत क या कणावर लाविला तर,   ज क र  =   १८०˚  -  त,
ज क प  = ९०˚,    प क र  =  ९०˚ +  त (आकृति आ)
      प         र            ज
म्हणून ----------  = ----  =  -------                (२)
    भुज त         १      कोभुत

यावरून   प   आणि र निघतील

(इ) जर, कणावर प्रेरक प्रयुक्त न करितां त्यास फलकावर स्थिर ठेवून मोकळेपणीं गतिमान होऊं दिलें, तर त्याची गति काढणें.
येथें जर ग हा भूसमुत्पन्न वेग मानिला तर कणस्थ

वसु =    इतका होय.

आतां ज चा फलकवर्ती विशिष्ट घटक ज भुज त व त्याचा सहयोगी घटक ज कोभु त. यावरून न्यूटनच्या दुसऱ्या सिद्धांतानें
                         ज भुज त        
कणाचा फलकवर्ती प्रवेग  = ------------- =  ग भुज त   (३)
                ज ग
                                 र – ज को भु त
आणि फलकाच्या लंबदिशेंतील प्रवेग = -----------------------  = ०
                       ज    ग

म्हणून  र  =    ज कोभु त.
(३४) स मां त र प्रे र क.-आतांपर्यंत एकाच बिंदूवर प्रयुक्त असलेल्या प्रेरकांचें संयोजन आणि वियोजन झालें. आतां, असें समजा कीं, क आणि च हे एकाच दृढघटित पदार्थांचे दोन बिंदू असून त्यांवर ट आणि त असें समांतर व समदिश प्रेरक अनुक्रमें प्रयुक्त आहेत. (आ. नं. १४ पहा) तर त्या प्रेरकांचें फल, प्रयोगबिंदू, मिति व दिशा यांसह निश्र्चित करावयाचें.
क१ च पासून कख१ चछ या रेषा ट१ त हे समांतर प्रेरक दर्शविणाऱ्या काढा. मग कच रेषेंत द१द असे समान पण विरुद्ध दिशेंत असलेले प्रेरक क१ च या बिंदूपाशीं प्रयुक्त करा. असें केल्यानें ट१ त यांच्या फलांत विकृति होणार नाहीं. हें उघड आहे. कघ१ चझ या रेषा द१द च्या निदर्शक काढून कखगघ१   चछजझ हे समांतर चतुर्भुज तयार करा. मग कग१ चज हे  (ट१द) आणि (त१द) यांची फलें होतील. जर गक आणि जच या रेषा अ बिंदूंत मिळेपर्यंत वाढविल्या तर हीं दोन्हीं फलें अ पाशी प्रयुक्त आहेत असें मानण्यास हरकत नाहीं. मग अ पाशी पुन्हां त्या फलांचें वियोजन केल्यास द१द हे शून्य फल होतील व त१ट हे एकाच ट१त यांच्या दिशेशीं समांतर अशा अप रेषेंत असतील म्हणजे क१च पाशीं प्रयुक्त असलेल्या ट१त या समांतर प्रेरकांचें फल ट  त हें आहे, त्याचीं दिशा ट१त यांच्या दिशेशीं समांतर आहे आणि तें कच रेषंतील प या बिंदूपाशी प्रयुक्त आहे. तसेंच कप   पच
        कप    पच    गख    छज
           = ---- :  ----  = ----- : ---
        अप    अप    कक्ष   चछ

       द     द
    . ----- : ----- =   त. ट
ट       त

म्हणून प बिंदु असा आहे कीं, ट  X  कप  =   त  X  पच
यावरून नियम सिद्ध होतो तो असा.-

(अ) दोन समांतर व समदिश प्रेरकांचा फलित प्रेरक त्याशीं समांतर व समदिश असतो, त्याची मिति त्यांच्या मितीच्या बेरजेबरोबर असते आणि प्रयोगबिंदु त्याच्या प्रयोगबिंदूमधील अंतरास त्यांच्या मितीच्या व्यस्त प्रमाणांत आंतून विभागतो.
वरील नियम सिद्ध करण्याच्या पद्धतीनेंच समांतर प  प विषमदिंश प्रेरकांच्या संयोजनाचा नियम निघतो तो असा:-
(आ) दोन समांतर, पण विषमदिश आणि असमान मितींच्या प्रेरकांचा फलित प्रेरक त्यांशीं समांतर व त्यांतील महत्तरांशीं सनदिश असतो, त्याची मिती त्यांच्या मितीच्या अंतराइतकी असते व प्रयोगबिंदू त्याच्या प्रयोगबिंदूच्या अंतरास त्यांच्या मितींच्या व्यस्त प्रमाणांत बाहेरून विभागतो.
(३५) प्रे र कां चा म ध्य.-समजा कीं, एका समपृष्ठापासून ट१, ट२, ट३, ....टन अशा अंतरावर असलेल्या कणांवर प१, प२, प३,....पन हे समांतर व समदिश प्रेरक प्रयुक्त आहेत तर पहिल्या दोन कणांवर प्रयुक्त असलेल्या प्रेरकांचा प्रयोगबिंदु ज्याअर्थी त्यामधील अंतरास प१, प२ यांच्या व्यस्त प्रमाणांत आतून विभागतो, त्याअर्थी त्या प्रयोगबिंदूचें दिलेल्या समपृष्ठापासून अंतर
    प१ ट१  + प२ ट२
      ----------------------  
        प१ +  प२    

इतकें असणार आणि तेथें प१,   प२ हें पहिल्या दोन प्रेरकांचे फल प्रयुक्त असणार हें फल व तिसरा प्रेरक यांच्या फलाचा प्रयोगबिंदू दिलेल्या समपृष्ठापासून
प१ ट१ + प२ ट२ + प३  ट३
-----------------------------------
      प१ + प२ + प३

इतक्या अंतरावर असणार आणि तेथें प१  + प२ + प३ हें त्या तीन पेरकांचें फल प्रयुक्त असणार. याप्रमाणें एक एक प्रेरक मिळवीत गेलों तर सर्व प्रेरकांचें फल प१ + प२ + …….. +  पन हें ज्या प्रयोगबिंदूपाशीं प्रयुक्त असणार त्याचें दिलेल्या समपृष्ठापासून अंतर
प१ ट१ + ट२  ट + ……. पन  टन       स० (पट)
ट   = ------------------------------------------=  ----------          (१)
        प१ + प२    + ……    पन            स˚ (३)

इतकें होईल. यांत स˚ (प   ट) ह्यानें प्रेरक X अंतर अशा न संख्याचें संकलित किंवा बेरीज दर्शविली आहे, आणि स० (प) यानें प्रेरकांचें संकलित दर्शविलें आहे.
जर अक, अच, अट, हें तीन निर्देशकाक्ष घेतले आणि दिलेल्या कणाचे सह निर्देशक , (क१, च१, ट१), (क२, च२, ट२,)   इत्यादि असेल तर सर्व प्रेरकांच्या प्रयोग बिंदूंचे सहनिर्देशक

    स˚ (पक)        सं (पच)           सं (पट)
क  = -------------,  च    = -------------,     ट =  -----------        (२)
    सं (प)             सं(३)          सं. (प)    

असे होतील. हे सहनिर्देशक, प्रेरकांचा अनुक्रम किंवा त्यांची दिशा यावर अवलंबून नाहींत केवळ दिलेल्या कणांच्या स्थानांवर व प्रेरकांच्या भितीवर अवलंबून आहेत हें उघड आहे. प्रेरकफलाच्या (२) मध्यें दिलेल्या प्रयोगबिंदूस प्रेरकमध्ये म्हणतात.

(३६) प दा र्था चा व सु म च्य किं वा गु रु त्व म ध्य.-भूपृष्ठावरील पदार्थावर पृथ्वीचें आकर्षण घडून त्यांतील प्रत्येक कणावर त्या कणाचें वजन नांवानें संबोधिलेला प्रेरक प्रयुक्त असतो. सर्व कणांवरील हे प्रेरक समान व समदिश असल्यामुळें, त्या प्रेरकांचा जो मध्य तेथें फलित प्रेरक म्हणजे त्या पदार्थांचें वजन प्रयुक्त असतें. या मध्यास त्या पदार्थाचा वसुमध्य किंवा गुरुत्वमध्य म्हणतात.

जर दिलेल्या पदार्थांचे न कण मानिले व त्यांतील कोणत्याहि एकांतील वसु स्व इतका मानिला तर त्यावर प्रयुक्त असलेला प्रेरक स्व ग हा होय. यांत ग हा भूसमुत्पन्न प्रवेग होय. आतां जर कलम (३५) मधील सहनिर्देशकांत प च्या जागीं स्व ग घातलें तर वसु मध्याचे सहनिर्देशक येतील ते असें.

    सं (स्वक)        सं (स्वच)        सं स्वट
क = ----------------,  च  =    -----------,  ट  = ------------
    सं (स्व)               सं (स्व)        स (स्व)

(३७) प दा र्थां ची घ् न ता कां हीं स म घ् न प दा र्थां चें व सु म ध्य.-पदार्थांनें व्यापिलेल्या स्थलाच्या मापास व्याप म्हणतात. व्यापैककांतील वसूस घनता म्हणतात, पदार्थांच्या कोणत्याहि भागांतील समान व्यापात समान वसू असतील तर त्या पदार्थांस समघन पदार्थ म्हणतात.
समघन पदार्थ जर एखादा बिंदु, रेषा किंवा समपृष्ठ या विषयी समस्थित असेल तर त्याचा वसुमध्य तो बिंदु होईल किंवा त्या रेषेंत किंवा समपृष्ठात असेल कारण अशा समस्थित पदार्थांच्या प्रत्येक कणाशी तितक्याच वसूचा व बिंदु, रेषा किंवा समपृष्ठ या पासून तितक्याच अंतरावर असलेला दुसरा कण संगरा असतो. उदाहरणें.
(1)    सरळ दंडाचा वसुमध्य त्याचा मध्यबिंदु होय.

(2)    वृत्ताकार वलयाचा किंवा वृत्तमयार्दित क्षेत्राचा वसुमध्य त्या वृत्ताचा मध्य होय.

(3)    गोलपृष्ठाचा किंवा गोलव्यापाचा वसुमध्य त्या गोलाचा मध्यबिंदु होय.

(4)    समांतर चतुर्भुजाचा किंवा समातरखाताचा वसुमध्य त्याच्या कोणत्याहि कर्णाचा मध्यबिंदु होय.

(5)    त्रिकोणाच्या कोणत्याहि बाजूशीं समांतर अशा रेघा काढून जर त्याचे बारके तुकडे केले तर त्या तुकड्याचे वसुमध्य त्या बाजूस दुभागणाऱ्या मध्यगेत   असतील. अर्थांत त्रिकोणाचा वसुमध्यहि त्या मध्यगेंत असेल. म्हणून त्रिकोणाच्या तिन्ही मध्यगांचा जो संपातबिंदु तोंच त्रिकोणाचा वसुमध्य होय.

(३७) प्रे र का चा सं पी ड क.-प्रेरकाचा क्रियामार्ग-म्हणजे ज्या सरळ रेषेंत तो प्रवेग निर्माण करितो ती जी सरळ रेषा, तिच्यावर कोणत्याहि बिंदूपासून लंब काढिला तर त्याची मिति आणि प्रेरकाची मिति यांच्या गुणाकारास त्या प्रेरकाची संपीडक म्हणतात. एखाद्या पदार्थावर प्रयुक्त असलेल्या प्रेरकामुळें त्या पदार्थांत आपल्याच कोणत्याहि बिंदुभोंवती फिरण्याची जी प्रवृति उत्पन्न होते ती प्रेरकाच्या संपीडकानें दर्शविली जाते.

अक  हा एक प्रेरक आहे व कोणत्याहि प बिंदूपासून त्यावरील लंब पम हा आहे तर

अक चा संपीडक  =  पी = अक  X  पम
                = २       पअक.     (१)

संपीडकांची भ्रमणप्रवृति घड्यालाच्या काट्याच्या विरुद्ध दिशेची असल्याच  संपीडक धन आणि त्याच दिशेची असल्यास ॠण समजावा. जर प हा कोणताहि बिंदु घेतला आणि अक, अच ह्या दोन प्रेरकदर्शक रेषा प्रेरकमितीशीं अशा प्रमाणांत घेतल्या कीं, पच ही अक शीं समांतर व्हावी. आणि मग अकगच हा समांतर चतुर्भुज तयार केला, तर अग हें प्रेरक फल येईल. (आ. १५ पहा)
आणि अकचा संपीडक  =   २    पअक    =   २ चअक  = २  चअग
      अच चा    ''    =   २       पअच
      अग चा    ''     =   २       पअग   =      २ (    पअच +  चअग)
        अक चा संपीडक  अचचा संपीडक यावरून खालील सिद्धांत सिद्ध होतो:-        
दिलेल्या बिंदू संबंधीं दोन प्रेरकांच्या संपीडकाची बेरीज त्यांच्या फलांच्या संपीडकाइतकी असतें.
जर प हा च अ क कोनाच्या आंत असेल तर प्रेरकाच्या संपीडकांची बैजिक बेरीज या नियमांप्रमाणें घ्यावी लागेल.
जर प हा बिंदु फलाच्या क्रियामार्गावर असेल तर घटक प्रेरकाचे संपीडक समान पण विरुद्ध दिशांत असतील. अर्थात त्यांची बैजिक बेरीज ० होईल.
यावरून नियम सिद्ध होतो तो हा:-
जर दोन प्रेरकांच्या एखाद्या बिंदुसंबंधीं संपीडकांची बैजिक बेरीज शून्य असेल तर तो बिंदु त्यांच्या फलाच्या क्रियामार्गावर असेल.
जर एकाच बिंदूवर अनेक प्रेरक प्रयुक्त असतील तर वरील नियम पुन:पुन: लावून असें सिद्ध होते कीं

दिलेल्या बिंदुसबंधी एक बिंदुप्रयुक्त अनेक प्रेरकांच्या संपीडकांची बैजिक बेरीज त्याच्या फलाच्या संपीडका इतकी असते.
जेव्हां दोन समांतर प्रेरक ट आणि त हे क आणि च या बिंदूंवर प्रयुक्त असतात तेव्हां त्यांच्या फलाचा प्रयोग बिंदू प हा असा असतो कीं, ट X  कप  =  त  X चप आणि कप : चप   ट वरील लंब : ट X ट वरील लंब =  त X  त वरील लंब याचा अर्थ ट आणि त यांचे प संबंधी संपीडक समान पण विरुद्ध दिशेंत असतात.
(३८) दं ड क त त्त्व.-दृढघटित परंतु वजनरहित दांडा किंवा दंडक आहे. तो अ आधारावर टेंकविला आहे, आणि त्याच्या ब बिंदूपाशीं व हें वजन लाविलें आहे. हें वजन तोलून धरण्यास प हा प्रेरक दांड्याच्या क बिंदूपाशीं लाविला आहे, तर प आणि व यांचा संबंध काढावयाचा आणि अ ह्या आधाराची प्रतिक्रिया र काढावयाची. (आ. नं. १६ पहा)
(1)    जर, अ आणि क हे दांड्याचीं दोन टोकें असतील तर,
व       अक
-----  =   ------  अर्थांत प, व पेक्षां लहान आहे.
  प       अब
आणि र  = व प
(2)    जर अ आणि ब दांड्याचीं टोकें असतील तर
व        अक
----- =   -------  अर्थांत प व पेक्षां मोठा आहे.
  प       अब
आणि र  =  प – व.
(3)    जरतव आणि क हे दांड्याची टोकें असतील तर,
व      अक
---- =  ------
  प      अब
आणि  र   =   प  + व.
यांत   व/प  या लब्धीस दंडाकाचा यांत्रिक लाभ म्हणतात.
जेव्हां प व पेक्षां लहान असतो तेव्हां हा लाभ १ पेक्षां मोठा असतो. अशी स्थिति (१) प्रकारच्या दंडकांत नेहमी होते आणि (३) प्रकारच्या दंडकांत जेव्हां दंडाधार बिंदु प पेक्षां व ला अधिक जवळ असतो तेव्हां होते (२) प्रकारच्या दंडकांत हा लाभ १ पेक्षां लहान असतो.
(३९) च क्रा क्ष यं त्र, च क्रि का आ णि  त रा जू.--(अ) चक्राक्ष यंत्रांत चक्राच्या परिधीभोंवती गुंडाळलेल्या रज्जूच्या टोकास व वजन लाविलें असतें व अक्षाच्या परिघाभोवतीं उलट दिशेनें गुंडाळलेल्या रज्जूच्या टोकास वजन तोलून धरणारा प प्रेरक लाविला असतो. चक्र व दोन्ही रज्जू एकाच ऊर्ध्वस्थ समपृष्ठांत असतात. रज्जू अधर दिशेंत लोंबत्या असून जेव्हां चक्र भ्रमरहित राहतें तेव्हां व आणि प याचे चक्रमध्यसंबंधी संपीडक समान आणि विरुद्ध दिशेंत असले पाहिजेत जर चक्र व अक्ष यांच्या त्रिज्या  स आणि श अशा असल्या तर व X  स  =  प X  श.

    व       श
      ----- = ----
    प    स

यावरून प हा प्रेरक व वजनापेक्षां लहान असतो.
(आ) चक्रिकेचा उपयोग प्रेरकाची मिति न बदलतां दिशा बदलण्यांत होतो. (आ. नं. १७ पहा)
(1)    या आकृतीमधील चक्रिकेचा च हा मध्य स्थिर असल्यामुळें तिला स्थिर चक्रिका म्हणतात. चक्रिकेवरून घातलेल्या रज्जूच्या एका टोकास व हें वजन व दुसऱ्या टोकास प हा प्रेरक आहे. च पासून व आणि प वर काढलेले लंब त्रिज्या सम असल्यामुळें चक्रिका भ्रमरहित असतां व आणि प यांचें संपीडक असल्यामुळें व =  प असतो.
आकृति (२) मध्यें अस्थिर चक्रिका दाखविली आहे. तिच्या अक्षकीलकास व हें वजन लाविलें आहे. चक्रिकेभोंवतीं घातलेल्या दोरीच एक  टोक अ या निश्र्चल बिंदूस बांधलें आहे व दुसऱ्या टोंकास प हा प्रेरक लाविला आहे. अर्थात दोरीच्या दोन्ही भागांतील ताण प, प असे समांतर असून ते या या वजनास तोलतात. म्हणून
    २प =    व
    प  =  व/२
तेव्हां एका अस्थिर चक्रिकेनें तोलणारा प्रेरक वजनाच्या निम्मा होतो.

अनेक अस्थिर चक्रिकांच्या अनेक प्रकारच्या रचनांचा विचार याच तत्त्वानुसार करितां येतो.

(इ) तराजू. यांत एक तुलादंड व त्याच्या दोन टोंकास दोऱ्याचीं टांगलेली समान वजनाची दोन तुलापात्रें असतात. तुलादंडाचा नेमका मध्य घेऊन तेथें तुलादंड टांगला तर दोन्ही तुलापात्रांत घातलेले पदार्थ समान वजनाचें असतांना तुलादंडाच्या मध्यांतून काढलेल्या लंबांतील कोणत्याहि बिंदूसंबंधानें त्याचे संपीडक समान होती व तुलादंड निश्र्चल राहील. पदार्थाचीं वजनें मापण्यास तुलादंड किंवा तराजू या यंत्राचा उपयोग करितात.

(४०) एक बिंदुप्रयुक्त प्रेरक आणि अनेक बिंदुप्रयुक्त समांतर प्रेरक यांच्यासंबंधीचें महत्त्वाचे नियम व त्यांचा उपयोग यांचें विवेचन आतांपर्यंत करण्यांत आले. त्यांत जी तत्त्वें सिद्ध करण्यांत आली त्यांचाच उपयोग करून अनेक बिंदुप्रयुक्त अनेक दिशांतील प्रेरक यांचे संयोजन वियोजन संबंधीं नियम काढतां येतात. परंतु त्यांचे विवरण बरेंच क्लिष्ट होईल आणि त्यास या लेखांत अवकाशहि नाहीं. स्थितिगतिशास्त्राच्या मूलभूत कांहीं तत्त्वांनें व त्यांतील प्राथमिक स्वरूपाच्या कांहीं प्रश्र्नाचें उपपादन केवळ दिग्दर्शन रूपानें या लेखांत करण्यांत आलें आहे. त्यांविषयी अधिक माहिती करून घेण्याकरितां त्या शास्त्रावरील स्वतंत्र ग्रंथ वाचण्याची इच्छा उत्पन्न व्हावी इतकाच या दिग्दर्शनाचा उपयोग अपेक्षित आहे. (ले. प्रो. वि. व. नाईक)

स्थितिगतिशास्त्र (स मा ज शा स्त्री य).-- समाजशास्त्राचे किंवा अर्थशास्त्राचे अभ्यासक प्रथमत: जेव्हां आपल्या शास्त्राचा अभ्यास करूं लागले तेव्हां त्यांनी समाजाचें स्वरूप साधारणत: स्थिर धरून ते कार्यकारणभाव शोधूं लागले आणि त्याचे नियम पाहूं लागले. कार्यकारणभाव शोधतांनां ''मागणी आणि पुरवठा'' इत्यादि अर्थशास्त्रीय नियम पुढें मांडले तथापि १८३९ सालानंतर सामाजिक शास्त्रांचा अभ्यास करण्याची दृष्टि बदलली आणि समाजाचा ऐतिहासिक, तौलनिक आणि आंकडेशास्त्रीय अभ्यास वाढूं लागला. कायद्याच्या ऐतिहासिक अभ्यासासहि मेन सारख्या लेखकांनी गति दिली.  या अभ्यासाच्या वाढीबरोबर समाजाचें स्वरूप बदलत असतें ही भावनाहि वाढली व अर्थशास्त्राच्या स्थितिगतिशास्त्राची कल्पना लोकांस होऊं लागली, आणि त्याबरोबर क्रमानें समाजाचें बदलणारें स्वरूप एकंदर प्रगतीचें आहे ही भावना देखील समाजशास्त्रांत वाढूं लागली. या भावनेचे  उदाहरण म्हणून लेस्टर वार्ड यांचा ''डायन्यामिक सोशिआलाजी'' सारखा ग्रंथ निर्देशितां येईल. केवळ अर्थशास्त्रीय बाबींकडे दृष्टि ठेवून अनेंकांनी प्रगतीच्या नियमाकडे नजर फेकलीं. या दृष्टीनें महत्त्वाचा ग्रंथ म्हटला म्हणजे जान बी. क्लार्क यांचा ''एसेनशल्स ऑफ एकानामिक थिअरी लॅब अप्लाईड टु डायनॅमिक प्रॉब्लेम्स'' म्हणजे ''प्रगतिसंबद्ध प्रश्र्नांतर्गत अर्थशास्त्रीय मुख्य नियमांचा विचार '' हा होय. सेलिग्मननें इतिहासाचें अर्थशास्त्रीय स्पष्टीकरण (एकानामिक इंटरप्रिटेशन ऑफ हिस्टरी) या पुस्तकांत देखील समाजप्रगतीसंबंधाचे व्यापक नियम दिले आहेत. समाज तर प्रगतिपर आहे, तर समाजशास्त्राचें ध्येय काय हे प्रश्र्न  स्वाभाविकपणें उत्पन्न होऊन लेस्टर वार्ड सारखे ग्रंथकार असें म्हणूं लागलें कीं, समाजशास्त्राचें मुख्य कर्तव्य प्रगतीस वेग देणें होय. समजाची स्वाभाविक प्रगति कशानें होते याविषयी आपल्यावर उल्लेखित पुस्तकांत क्लार्क म्हणतो कीं, उत्पादन आणि विनिमय या दोहोंचे जे घटक आहेत त्यांत बदल होत गेला म्हणजे समाजाची प्रगति होते. उदाहरणार्थ, लोकसंख्या पूर्वीपेक्षां वाढली तर खप वाढावयाचाच त्यामुळें उत्पादन वाढतें त्याचप्रमाणें जनतेच्या गरजा वाढल्यानें वाढते. लोकसंख्या वाढली म्हणजे काम करणाऱ्यांची संख्या वाढते आणि उत्पन्नहि वाढतें; जमीन वाढते काय या प्रश्र्नास वाढते असेंच उत्तर देणें भाग आहे. कां कीं मनुष्योपयोगास येणारी जमीन वाढत आहे. शिवाय जमीनीचें उत्पादकत्वे देखील शेतकीच्या संबंधाच्या अनेक सुधारणा होऊन व इतर अनेक कारणानें वाढत आहे.
खनिजांचा शोध जसजसा अधिकाधिक लागतो. तसतशी पूर्वी अनुपयुक्त असलेल्या जमिनीची उपयुक्तता वाटते, वगैरे गोष्टी जमीन वाढते हें दाखविण्यासाठीं सांगतां येतील.

समाजशास्त्रीय प्रगति मोजण्याचीं मापें अनेक प्रकारची आहेत, म्हणजे समाज किती प्रगत झाला हें अनेक अंगांनी दाखवितां येईल. लोकसंख्येची वाढ, ज्ञानसंस्थाचें गुरुत्व म्हणजे लहान राज्यांऐवजीं मोठमोठीं साम्राज्यें होण्याची क्रिया, मोठ्या प्रमाणावर होणारें उत्पादन इत्यादि अनेक क्रिया समाजस्वरूपास गतीनें नियम लागूं आहेत याच्या स्पष्टीकरणार्थ दाखवितां येतील. त्याचप्रमाणें कित्येक समाजशास्त्रीय लेखक व्यक्ति ही सामाजिक विचाराचा मुख्य विषय धरून व्यक्तीच्या सौख्याच्या वाढीच्या दृष्टीनें सामाजिक प्रगतीचा अभ्यास करील. सामाजिक इतिहासाची अंगेंच इतकीं विविध आहेत व त्यांत अन्योन्याश्रयहि इतका पूर्ण आहे कीं, आपण प्रगतीचा इतिहास लिहूं लागलों तर फारच थोड्या अंगांचा लेखकानें अगदीं वरवर विचार केला आहे असें आक्षेपकास वाटल्याखेरीज रहाणार नाहीं. सामाजिक विकासासंबंधाची जी अनेक अंगे समाजशास्त्रकारांनी विवेचिलीं आहेत त्यात अनेक समाज मिळून जेव्हां एक समाज होऊं पहातो त्याप्रसंगी होणाऱ्या क्रियांच्या अभ्यासाचाहि अंतर्भाव होतो. राष्ट्रीयकरण करूं इच्छिणाऱ्यास या क्रिया विशिष्ट लक्षांत घेण्याजोग्या आहेत. यासच समाजाचें दृढीकरण म्हणतात; त्या क्रियांचे सविस्तर विवेचन ज्ञानकोशाच्या पहिल्या विभागांत केलेंच आहे. सामाजिक प्रगतीमध्यें वैज्ञानिक प्रगतीचें महत्त्व मोठें आहे, आणि शास्त्रविकासाबरोबर जेव्हां शास्त्रीय ज्ञानाचें व्यावहारिक स्वरूप विकसित होतें तेव्हां समाजांत मोठे आर्थिक परिणाम घडून येतात. वाफ, वीज, इत्यादि शक्तीचा व्यवहारांत उपयोग कसा करून घ्यावा याचें ज्ञान वाढल्यानें समाजावर काय परिणाम झाले याचा इतिहास सांगणें म्हणजे अर्वाचीन इतिहास सांगणेंच होय.

समाजामध्यें नैतिक प्रगति खरोखर कितपत होते, आणि नैतिक प्रगति इतर प्रगतीची कारक आहे किंवा इतर प्रगतीचा आनुषंगिक परिणाम आहे इत्यादि गोष्टीविषयीं जितकी प्रबुद्ध चर्चा व्हावी तितकी झालेली दिसत नाहीं. मनुष्यस्वभाव चोहोंकडे सारखाच आहे असें म्हणण्याची अजून प्रवृत्ति आहे. पण खरोखर पहातां आर्थिक विकासाबरोबर मनुष्याच्या मानसिक वृत्तीमध्येंहि बरेच फरक दृष्टीस पडतात. अधिक निर्भय समाजामध्यें खरें बोलण्याचीं प्रवृत्ति अधिक दिसते. व जगातील व्यवहारांतला अन्योन्याश्रय जितका जास्त समजत जातो तितकी जगांतील मत्सर बुद्धी व परोत्कर्षासहिष्णुता देखील कमी होत जाते असें दिसून येईल.

   

खंड २१ : साचिन - ज्ञेयवाद  

 

 

 

  सातारा
  सादाबाद
  सादी
  सानंद तालुका
  साबण
  साबरमती नदी
  साबाथ
  साबूदाणा
  सांभर
  सांभर सरोवर
  सामवेद
  सायणाचार्य
  सायप्रस बेट
  सायरिनी
  सारंगड संस्थान
  सारंगपूर
  सारण
  सारस्वत
  सारानाथ
  सार्वराष्ट्रीय कायदा
  सालवीन
  सालूर
  सालेम
  सालोन
  साल्व्हाडोर
  सावंतवाडी संस्थान
  सावर्णि
  सावित्री
  साष्टी
  सासवड
  साहित्यशास्त्र
  साळी
  सिंकोना
  सिक्कीम
  सिंगापूर
  सिंगू
  सिंघभूम
  सिजविक
  सिंजहोरो
  सिथिआ
  सिंद
  सिंध
  सिंधसरहद्द
  सिंधु
  सिंधुनद
  सिद्धपूर
  सिनसिनॅटी
  सिन्नर
  सिरसा
  सिरसी
  सिराजगंज
  सिरोही
  सिलहट
  सिलोन
  सिसवी
  सिसिरो, मार्कस टिलियस
  सिंह
  सिंहगड
  सीएरालिओनी
  सीता
  सीतापूर
  सीतामऊ संस्थान
  सीरिया
  सील
  सुएझ
  सुकेत संस्थान
  सुग्रीव
  सुतार
  सुंथ
  सुंदरवन
  सुदान
  सुदास
  सुंदोपसुंद
  सुपारी
  सुपे
  सुफी
  सुब्रह्मण्य अय्यर डॉ एस्
  सुभद्रा
  सुमात्रा
  सुमेर
  सुरगाण
  सुरगुजा
  सुरजमल्ल
  सुरत
  सुरापान
  सुराष्ट्र
  सुलतानपूर
  सुलेमानपर्यंत
  सुश्रुत
  सुसर
  सुसा
  सूतिकाज्वर
  सूर घराणें
  सूरदास
  सूर्य
  सूर्यमाला
  सूक्ष्मदर्शक यंत्र
  सूक्ष्मसंचयन
  सेखोजी आंगरे
  सेंगर उर्फ सैंगर राजवंश
  सेंट पीटर्स बर्ग
  सेंट लुसिआ
  सेंट-सायमन,क्लॉड हेनरी
  सेंद्रक
  सेन राजे
  सेनवी
  सेनीगाल
  सेरामठ
  सेलीबीझ
  सेल्युशिआ
  सेवुल
  सेव्हॅस्टोपोल
  सैन्य
  सैलाना संस्थान
  सोंड
  सोडा
  सोंडूर
  सोनपूर
  सोनपूर संस्थान
  सोनार
  सोप्पार
  सोफिया
  सोम
  सोमदेव
  सोमनाथ
  सोमालीलॅंड
  सोमेश्वर
  सोरा
  सोलापूर
  सोहावल
  सौंदत्ती
  सौदॅम्पटन
  सौंदर्यशास्त्र
  स्कंदपुराण
  स्कॉटलंड
  स्कुटारी
  स्कौट (स्काउट)
  स्टटगार्टं
  स्टॉक होम
  स्ट्रॉबेरी-इष्टापुरी
  स्ट्रायबर्ग
  स्तंभ
  स्त्रीधन
  स्थलजलचर
  स्थानेश्वर
  स्थापत्यशास्त्र
  स्थापत्यशास्त्र (भाग २)
  स्थापत्यशास्त्र (भाग ३)
  स्थितिगतिशास्त्र
  स्पंज
  स्पर्शास्पर्शविचार
  स्पार्टा
  स्पिनोझा
  स्पेन
  स्पेन्सर, हर्बर्ट
  स्फुर
  स्मर्ना
  स्मिथ, अॅडॅम
  स्वाझीलंड
  स्वात संस्थान
  स्वानसी
  स्वामीनारायणपंथ
  स्वार्थवाद
  स्वित्झर्लंड
  स्वीडन
 
  हंगु
  हंगेरी
  हॅझलिट, विल्यम
  हझारा जिल्हा
  हझाराबाग जिल्हा
  हडगल्ली
  हंडिया
  हणमंते, रघुनाथ नारायण
  हत्ती
  हंथवड्डी
  हथवाराज
  हनगळ
  हनमकोंडा
  हंबीरराव मोहिते
  हमदान
  हमीरपूर
  हर
  हरणई
  हरदोई
  हरद्वार
  हरपनहळ्ळी
  हरभरा
  हरसूद
  हरिआना
  हंरिपंत फडके
  हरिपूर
  हरिश्चंद्र
  हरिहर
  हर्दा
  हर्ष
  हलवाई
  हलायुध
  हवेली
  हव्यक ब्राह्मण
  हंस
  हंसदास (राज)
  हसन
  हसनपूर
  हंसी
  हस्तिदंत
  हस्तिनापूर
  हळद
  हळवा
  हळशी
  हळ्ळेबिड
  हाँगकाँग
  हाजीपूर
  हाटा
  हाटिया
  हाटेंटाट
  हाडें
  हायॉर्न नॅथेनील
  हाथ्रस
  हानोइ
  हागोव्हर
  हापुर
  हाफीजाबाद
  हॉफ्मान
  हॉब्ज
  हाम्बर्ग
  हाल
  हॉलंड
  हावेरी
  हाळेपाईक
  हिंगणघाट
  हिंगूळ
  हिंगोली
  हिंग्लज
  हिंदुपूर
  हिंदूकुश
  हिंदोल
  हिब्रू वाड्मय
  हिंमतबहादूर गोसावी
  हिमालयपर्वत
  हिरडा
  हिरण्यकशिपु
  हिरात
  हिरे
  हिलटिप्पेरा
  हिशेबपद्धति
  हिस्सार
  हुएनत्संग
  हुकेरी
  हुगळी
  हुंडणावळ
  हुनगुंद
  हुबळी
  हुमायून
  हुशंगाबाद
  हुश्यारपुर
  हुण
  हेग
  हेगेल
  हेंझाडा
  हेनरी राजे
  हेबळी
  हेमाद्रि अथवा हेमाडपंत
  हेलिओपोलिस
  हेल्महेल्ट्झ, हर्मन
  हैदरअल्ली
  हैदराबाद
  हैहय राजे
  होंडुरस
  होनावर
  होमर
  होयसळ राजे
  होरेस
  होलिया
  होसुर
  होस्पेट
  होळकर
  हौरा
  ह्यूगो, व्हिक्टर
  ह्यूम
 
  क्ष
  क्षत्रप
  क्षत्रिय
  क्षयरोग
  क्षिप्रा
  क्षीरस्वामी
  क्षेमंकर
  क्षेमराज
  क्षेमीश्वर
  क्षेमेंद्र
  ज्ञ
  ज्ञानकोश
  ज्ञानराज
  ज्ञानेश्वरी
  ज्ञेयवाद

 

   

यशवंतराव चव्हाण प्रतिष्ठान निर्मित महत्वपूर्ण संकेतस्थळे  

   

पुजासॉफ्ट, मुंबई द्वारा निर्मित
कॉपीराइट © २०१२ --- यशवंतराव चव्हाण प्रतिष्ठान, मुंबई - सर्व हक्क सुरक्षित .