प्रस्तावना खंड  

   

सूची खंड  

   
Banners
   

अक्षरानुक्रम (Alphabetical)

   

विभाग एकविसावा : सांचिन - ज्ञेयवाद 
        
सूक्ष्मसंचयन किंवा शून्यलब्धि गणित— या सदरांत येणार्या शास्त्राचें वर्णन महाराष्ट्र भाषेंत अगदीं प्रथमतः येऊं पहात आहे. प्रथम या शास्त्राच्या नांवाबद्दल दोन शब्द लिहिले पाहिजेत. ज्यास इंग्रजीत इंटीग्रल कॅल्क्युलस म्हणतात त्यास सूक्ष्मसंचयन हें नांव शोभेल परंतु, इन्फीनिटेसिमल कॅल्क्युलस ह्यास निराळेंच नांव देण्याची आवश्यकता आहे. कारण त्यांत सूक्ष्मसंचनाचाच केवळ अंतर्भाव नसून सूक्ष्मसंख्या चलन व तद्नुषंगिक इतर परिणामांचाहि विचार करावा लागतो व म्हणून ह्या सर्व गोष्टींचा समावेश होण्याजोगें, सुधाकर द्विवेदी ह्यांनीं सुचविल्याप्रमाणें ''कलनशास्त्र'' हेंच नांव जास्त इष्ट आहे. पुष्कळांस शून्यलब्धि हें नांव या शास्त्रास देतां येईल असें वाटण्याचा संभव आहे. परंतु जुन्या संस्कृत गणितशास्त्रांत शून्यलब्धि हें नांव शून्यावर बेरीज, वजाबाकी, गुणाकार, भागाकार इत्यादि संस्कार करण्याच्या गणितप्रकारास दिलेलें आहे व तसा प्रत्यक्ष संबंध या शास्त्रांत कोठेंहि येत नाहीं.

जगांतील सर्व परिणामें बदलणारीं आहेत. त्यांत क्षणोक्षणीं फेरफार होत आहेत. हा होणारा फरक व वेळा यांत कांहीं विशिष्ट संबंध असूं शकतो. त्याचप्रमाणें दोन गोष्टींचा संबंधहि कांहीं विशिष्ट प्रकारानें दर्शवितां येतो. हे संबंध कोणते हें शोधून काढून त्यांचा विचार केल्यानेंच प्रगति होत असते. यांतील कांहीं विशिष्ट संबंधांचें गणितविषयपरिभाषेंत रूपांतर करतां येतें. हा संबंध दृष्टोत्पत्तीस येण्याकरतां त्यासंबंधाचें परिमाणात्मक काढलेलें चित्र यासच आलेख असें म्हणतात. आलेखाचेंच एक निराळें शास्त्र बनलें आहे. त्याच बीजभूमिति (पहा) हें नांव आहे.

त्याचप्रमाणें या बदलणार्या परिमाणांत होणार्या फरकांचा विचार करणें असल्यास त्यांच्या विकाराच्या वेगाचाहि विचार करावा लागतो; उदाहरणार्थ झाडें कोणत्या वेगानें वाढतात? लाटा कोणत्या वेगानें पाण्याच्या पृष्ठभागावरून गमन करतात? मोटारगाडीचा वेग काय? इत्यादि गोष्टी पहाव्या लागतात. चंद्र, सूर्य इत्यादिकांच्या स्थितीचा विचार करतांना त्यांच्या गतीचाहि प्रश्न लक्षात घेतला पाहिजे. ह्या ज्या गती अथवा वेग यांचा विचार करणें हेंच मुख्यत्वेंकरून या शास्त्राचें प्रधान अंग आहे.

पदार्थविज्ञानशास्त्र व गणितशास्त्र या विषयांची वाढ मुख्यत्वें कलनशास्त्रानेंच झाली आहे. अगदी प्राचीन काळीं सरल रेषांनीं बनलेल्या आकृतीचेंच क्षेत्र व्यक्त करतां येत होतें पण पुढें जसजसा वक्रांचा शोध लागला त्या मानानें त्यांचे क्षेत्रफळ काढण्यास अडचण पडूं लागली. ही अडचण भरून काढण्यास निरनिराळ्या रीती अस्तित्वांत आल्या. त्यांतच अवशेषरीतीचा उदय झाला. या रीतींत दोन बदलणार्या संख्यांचे शेवटीं होणारें समानात्मक या दोहोंच्या अंतरी असलेल्या संख्येचें त्या समान झालेल्या संख्येशी समानत्व शेवटी गृहीत असतें. उदाहरणार्थ वर्तुळाचें क्षेत्र त्यांतल्या अंतर्गत बहुभुजापेक्षां जास्त व बहिर्गत बहुभुजापेक्षां कमी आहे. या बहुभुजांच्या बाजूंची संख्या वाढवून दोहोंचें क्षेत्र तेंच होतें हें दाखवावयाचें. अर्थात वर्तुळाचें क्षेत्रहि तेंच असलें पाहिजे; कारण एकापेक्षां तें जास्त व दुसर्यापेक्षां तें कमी आहे. या रीतीनें वर्तुळ, परवलय, गोल यांचे क्षेत्र वगैरे आर्किमिडीज इत्यादिकांनीं काढिलें आहे. पुढें सुमारें दोन हजार वर्षेपर्यंत नवीन रीती फारशा उपलब्ध झाल्या नाहींत. सोळाव्या शतकांत केप्लर यानें या रीतींची वाढ करून अनंतत्वाची कल्पना प्रचारांत आणली; व परिमाणांच्या अत्युच्च व अतिनीच किंमतींचा थोडासा विचार केला. सतराव्या शतकाच्या पूर्वार्धांत काव्हालिएरी यानें भागभूमिति उदयास आणली व त्यावरून त्यानें त्रिकोणमध्य काढला व गिल्डीन अगर पापस यांच्या सिद्धांतांची सत्यता दाखविली. पास्कल व वालिस यांनीं वक्रांची लांबी काढून संकलनशास्त्राचा पाया रचला. इ. स. १६३७त डेकार्टच्या बैजिक भूमितीनें तर त्यास फारच चलन मिळालें. या योगानें आजपर्यंत केवळ कल्पना करून काढलेल्या गोष्टींनां दृकप्रत्ययानें स्पष्ट करतां येऊं लागलें. फ्रेमा (फर्मा), राबरव्हल इत्यादिकांनीं निरनिराळे विचार करून त्यांच्या साहाय्यानें नवीन शास्त्र बनविण्याचा प्रयत्न केला, व या दृष्टीनें कित्येकांच्या मतें या शास्त्राचा शोधक फ्रेमा (फर्मा) हा मानला गेला आहे. परंतु हें शास्त्र त्यानें व्यक्त दशेस आणलें नाहीं. त्याचा मान लेब्गित्झ व न्यूटन या दोघां गणितज्ञांस आहे. या दोघांनीहि स्वतंत्रपणें या शास्त्राचा पाया रचला. परंतु शोधकालीं त्यांच्यात पत्रव्यवहार झाल्यानें मूल जनकाबद्दल बराच वाद आहे. त्यानंतर लाप्ले व लाग्रां ह्यांनीं हा विषय हातांत घेऊन त्यास अतिशय उत्कृष्ट स्वरूप दिलेलें आहे. सध्यांच्या काळीं या विषयास महत्त्व किती प्राप्त झालें आहे हें प्रत्येक गणितज्ञास माहीत आहेच.

भारतीय गणितज्ञांनीं या विषयावर कांहींच लिहिलेलें दिसत नाहीं. भास्कराचार्यांनीं कालमापन कोष्टक देतांनां त्रुटीचें वर्णन केलें आहे. ही त्रुटि १ सेकंदाचा ३४००० वा अंश आहे; व यावरून त्या काळीं कालाची अनंत विभाज्यता त्यांस माहीत होती असें दिसते; पण त्याबद्दल स्पष्ट असा उल्लेख कोठेंहि केलेला आढळत नाहीं. इतकें असूनहि भास्कराचार्यांनी सिद्ध केलेल्या कांहीं सिद्धांतांनां या रीतींची बरीचशी जरूरी लागते. त्यांनीं स्थूलगति व सूक्ष्मगति असे भेद करून ''अथ सूक्ष्मा तात्कालिकी कथ्यते। यदा आसन्न तिथ्यंतः तदा तात्कालिक्या गत्या तिथिसाधनं कर्तुं युज्यते। यतः चन्द्रगति महत्त्वात् प्रतिक्षणं समा न भवति अतः अयं विशेषः अभिहितः '' असें सूक्ष्मगतीचें वर्णन केलें आहे. तसेंच निरनिराळ्या कोनांच्या भुजांचें कोष्टक सिद्ध करतांनाहि ''दिनान्तरं स्पष्टखगान्तंर स्याद्गति : स्फुटा तत्समयांतराले'' या श्लोकांत तात्कालिक स्फुट भोग्यखंड कसा तयार करावां हें सांगितलें आहे. ही रीति सध्यांच्या d (ज्याथ) = कोज्याथ ह्याच्याशी अगदींच सदृश आहे. एवढेंच नव्हे तर या तात्कालिक गतीच्या व्याख्येचा उपयोग करून गणिताध्यायाच्या स्पष्टाधिकारांत ''फलांश खाङ्कान्तर शिंजिनीघ्नी'' या श्लोकानें

         त्रिज्यांथ
---------------------------
त्रि + अ + २ अंकोज्याथ

या फलाची तात्कालिक गति काढून त्याच्याहि पुढें जाऊन चलसंख्या अत्युच्च असेल त्यावेळीं तिची तात्कालिक गति शून्य असते असें ''कक्षामध्यगर्तियग्रखा प्रतिवृत्तसंपाते'' या श्लोकांत साफ म्हटलें आहे. ह्या व इतर कांहीं वचनांवरून भास्कराचार्यांस कलनशास्त्राच्या रीतींपैकी कांहीं किंवा त्यासारख्या रीती माहीत होत्या असें म्हणतां येईल. व ह्याच दृष्टीनें आर्किमिडीज यास संकलनशास्त्राच्या दृष्टीनें जें महत्त्व आहे. तितकाच किंवा त्यापेक्षांहि जास्त भास्कराचार्यांचा कलनशास्त्राशीं संबंध पोंचती असें म्हणण्यास कांहीं हरकत नाहीं. भास्कराचार्यांनंतर झालेल्या ज्योतिषशास्त्रविदांस यांतील पुष्कळ गोष्टी समजल्या नाहींत व त्यांनीं आपल्या पूर्वीच्याच रीती कायम ठेवून त्यांचीच वाढ व जोपासना केली. अगदीं अलीकडे नृसिंह उर्फ बापुदेव शास्त्री यांनीं कांहीं श्लोक गीर्वाणभाषेंत केले आहेत. सुधाकर द्विवेदी यांनीं हिंदी भाषते 'चलनकलन' नांवाचें मोठें पुस्तक लिहून आर्य गणितज्ञांवर मोठे उपकार करून ठेविले आहेत. लोकमान्य टिळकांनीं ह्या विषयाबद्दल कांहीं लिहिलें असल्याबद्दल जनप्रवाद आहे तो खोटा आहे. परंतु कलनशास्त्र निराळ्याच रीतीनें लिहून त्यास भूमितीसारखें नियमबद्ध स्वरूप देतां येईल असें त्यांचें म्हणणें होतें व ते त्याप्रमाणें प्रयत्नहि करणार होते हें लेखकास माहीत आहे.

लेखनाच्या सोयीकरतां या लेखाचे तीन भाग पाडले आहेत. (१) चलनकलन (डिफरेन्शिअल कॅल्क्युलस), (२) सूक्ष्मसंकलन (इंटीग्रल कॅल्क्युलस), (३) कलनसमीकरणें (डिफरेन्शिअल इक्वेशन)

चलन कलन — कोणतीहि सरलरेषा घेतल्यास ती अगदीं लहान लहान तुकड्यांची बनलेली असते. हे तुकडे आपणांस अगदीं लहान बिंदुमात्र मानण्यास हरकत नाहीं. ह्याप्रमाणें कोणतेंहि परिणाम आपणांस सूक्ष्मरीतीनें विभागतां येईल. वेळ, काम, क्षेत्रफळ, झाड वगैरेंची वाढ हीं पूर्ण परिणामें मानल्यास त्यांचे सूक्ष्म भाग करतां येतील. त्यांसच त्या परिमाणांचें बिंदुमान अगर सूक्ष्मच्छेद म्हणतात. या बिंदुमानाची किंमत अगदीं लहान असल्यानें कल्पनेनें प्रत्यक्षी करतां येत नसली तरी परस्परसंबंधीं दोन संख्यांच्या बिंदुमानाचें गुणोत्तर सहज कल्पनेला जाणता येतें. उदाहरणार्थ आगगाडी एखाद्या ठिकाणीं तासास ५० मैल चालते असें म्हटल्यास त्याचा अर्थ असा कीं १ तासभर ती आहे. त्या वेगाने चालत आहे असें मानिल्यास ती ५० मैल जाईल आणि वेग = अंतर/वेळां हे प्रमाण नेहमीं सत्य असल्यानें ज्या क्षणाबद्दल विचार चालला आहे त्या वेगानें ती चालत आहे. त्या क्षणीं जरी ती सूक्ष्म अंतर गेली असली तरी ५० मैल हा वेग कल्पनेला गम्य आहे. परंतु तें अंतर व तो क्षण ही दोन्हीं अत्यंत सूक्ष्म असल्यानें जाणतां येण्यास कठिण आहेत. या ठिकाणीं अंतर व वेळा हीं परस्परसंबंधीं परिमाणें होत व त्यांचें बिंदुमान व गुणोत्तर यांचा संबंध वर दर्शविलाच आहे. असल्या निरनिराळ्या परस्परसंबंधी परिमाणांच्या बिंदुमानांचें गुणोत्तर काढून त्याचा व्यवहार दृष्ट्या उपयोग करणें हा या शास्त्राचा उपयोग आहे.

दोन परस्परसंबंधीं संख्या य व क्ष आहेत असें समजून त्यांत य च्या किमती क्ष च्या किंमतीवर अवलंबून आहेत असें मानल्यास क्षस भुक्तपरिमाण, विकरण व यस क्षचें अमुक्तपरिमाण, विकार्य किंवा फल असें म्हणतात जसें:- य = क्ष + ५क्ष + ३ यांत क्षच्या जर १ । २ । ३ इत्यादि किंमती कल्पिल्या तर यच्या किंमती त्या मानानें बदलतील. या ठिकाणीं क्षचा संबंध व्यक्त करून दिलेला आहे. कित्येक प्रसंगीं तो अव्यक्त असतो जसें:— यक्ष = ५ क्ष य-य. पहिल्या ठिकाणीं य हें क्षचें व्यक्त किंवा स्पष्ट फल व दुसर्यांत य हें क्षचें अव्यक्त फल आहे. कित्येक परिमाणें य व क्षसारखीं किंमत बदलणारीं असतात. त्यांस चल किंवा अनित्य व कित्येकांच्या किंमतींत बदल मुळीच होत नाही. त्यास अचल किंवा नित्य परिमाणें म्हणतात. य हें क्ष चें फल असल्यास तें सामान्य रीतीनें फ(क्ष), फा(क्ष), फि(क्ष) ह्या किंवा असल्या संबंधानें दर्शविण्यांत येईल. कित्येक प्रसंगी य ची किंमत एकापेक्षां अधिक चलपरिमाणांवर अवलंबून असतें. जसें:- य = क्षष + ष२ + क्ष२. यांत क्ष व ष हीं चलपरिमाणें होत व य हें त्या दोहोंचें फल होय. हें फ (क्ष, ष) असें लिहिलें जातें.

या फलांच्या किंमतींत. परिमाणांच्या किंमतीमुळें फरक होतो. जसजशी क्षची किंमत वाढवावी तसतशी यची किंमत कमी अगर जास्त होईल. या होणार्या वाढीस चलन म्हणतात. जर क्षस  Δक्ष हें चलन मिळालें तर पहिल्या उदाहरणांत नवीन यची किंमत (क्ष+Δक्ष) + ५ (क्ष+Δक्ष)+३ होईल. यावरून य चें चलन जर Δय मानलें तर

Δय = (क्ष+Δक्ष)+५(क्ष+Δक्ष)+३-क्ष-५क्ष-३ होईल. Δय=२क्षΔक्ष+(Δक्ष)+५Δक्ष.

अशा रीतीनें क्षच्या किंमतीचा फरक झाला असता यच्या किंमतींतील फरक सहज काढतां येण्यासारखा आहे. वर दर्शविलेल्या उदाहरणांत क्षची वाढ जर बिंदुमानच आली तर यची वाढहि त्या मानानेंच सूक्ष्म होईल. हीं बिंदुमानें केवळ बुद्धीनेंच जाणतां येतील. परंतु या बिंदुमानांचें गुणोत्तर सहज समजेल. जसें:—

Δय=२क्षΔक्ष+(Δक्ष)+५Δक्ष. यचें बिंदुमान कल्पनेस अग्राह्य.

Δक्ष  हें क्षचें बिंदुमान कल्पनेस अग्राह्य.

पण त्याचें गुणोत्तरΔय/Δक्ष=२क्ष+५+Δक्ष.

या ठिकाणीं बिंदुमानांच्या सापेक्षत्वाचा प्रश्न विचारांत घ्यावा लागतो. अगदीं साधें उदाहरण घ्यावयाचें म्हटलें म्हणजे एखाद्याचें उत्पन्न १००० रु. आहे. तर त्या उत्पन्नाशीं सापेक्षत्वानें १ रु. उत्पन्न असणारा फारच कमी दर्जाचा व १/१००० रु. उत्पन्न असणारा तर किती तरी कमी दर्जाचा होईल व अच्या उत्पन्नाच्या वेळी तिसर्या कच्च्या उत्पन्नाचा किंवा त्याजसारख्या ५।४ जणांच्या उत्पन्नाचा मुळींच विचार न करतां त्यांचें अस्तित्वहि न मानलें तरी चालण्यासारखें असतें. ह्याच दृष्टीनें Δक्ष हें बिंदुमान असल्यानें २क्ष+५ याच्याशीं सापेक्ष विचार केला तर अगदींच लहान- नाहीं म्हटलें तरी चालेल- म्हणून गुणोत्तर बिंदुमानांच्या दृष्टीनें २क्ष+५ हें मनास सहज ग्राह्य आहे.

यांत Δक्ष, Δय हीं बिंदुमानें व आलेलें गुणोत्तर ह्यास यची क्ष संबंधी तात्कालिक गति म्हणतात. आपण त्यास ताद्गति हें नांव देऊं. ह्यांसच व्यावर्तक गुणक असेंहि म्हणण्याचा प्रघात आहे. व्यावर्तक म्हणजे अंतरासंबंधींचा. गुणक म्हणण्याचें कारण इतकेंच कीं, क्षची वाढ Δक्ष झालीं हें दिलें असतां यची वाढ  Δय/Δक्ष  Δक्ष ही होते. व हा Δक्ष चा गुणक आहे. क्षची अगदीं बिंदुमात्र वाढ दिली असल्यास यची वाढ या गुणकानें काढतां येते. यासच सुधाकर द्विवेदी यांनीं तात्कालिक संबंध हें नांव दिलेलें आहे. ही ताद्गति नेहमी बिंदुमात्र वाढीनें झाली आहे. हें दर्शविण्याकरतां    dय/dक्ष तशी दर्शविली जाते. यांत d हे इंग्रजी डी अक्षर आहे. या ताद्गतीची सामान्य व्याख्या अशी :
य = फ(क्ष) हा चलपरिमाणांचा संबंध; त्यास चलन देऊन य+Δय=फ (क्ष+Δक्ष). म्हणून यची वाढ Δय=फ(क्ष+Δक्ष)—फ(क्ष) व त्यावरून ताद्गति Δय/Δक्ष=फ(क्ष+Δक्ष)-फ(क्ष)/Δक्ष मात्र येथें Δय आणि Δक्ष हे बिंदुमात्र आहेत. हें दर्शविण्याकरतां हीच गोष्ट पुढीलप्रमाणें व्यक्त करतात.

dय/dक्ष=(फ(क्ष+Δक्ष)—फ(क्ष)/Δक्ष) ؤक्ष=०
या व्याख्येचा उपयोग करून वाटेल त्या फलाची ताद्गति काढतां येईल. ही ताद्गति काढतांना काहीं सामान्य सिद्धांत ध्यानांत ठेवल्यास क्रिया सुलभ होते.

सिद्धांत १ ला:— नित्यसंख्येची ताद्गति शून्य असते कारण तिच्या किंमतींत बदल होत नाहीं.

सिद्धांत २ रा:— नित्यसंख्यागुणित चलराशीची ताद्गति ही चलराशीच्या ताद्गतीस नित्यसंख्येनें गुणिल्यास प्राप्त होते; जसें य = अफ(क्ष)

dय/dक्ष=अ×dफ(क्ष)/dक्ष
सिद्धांत ३ रा:- दोन किंवा अनेक फलांच्या बेरीज किंवा वजाबाकीची ताद्गति त्या दोन किंवा अनेक फलांच्या ताद्गतीच्या बेरीज अथवा वजाबाकीबरोबर असते जसें:-
य = स + ष + श

dय/dक्ष=dस/dक्ष+dष/dक्ष+dश/dक्ष

सिद्धांत ४ था:- दोन किंवा अनेक फलांच्या गुणाकारांची ताद्गति ही प्रत्येक फलाची ताद्गति व तव्द्यतिरिक्त फलें यांचा गुणाकार यांच्या बेरजेबरोबर असते. जसें:—

य = स ष श

dय/dक्ष=dस/dक्षषश+dष/dक्ष+dश/dक्षसष

सिद्धांत ५ वा:- दोन फलांच्या भागाकाराची ताद्गति ही अंशाच्या ताद्गतीस छेदानें गुणून त्यांतून छेदाच्या ताद्गतीस अंशानें गुणून आलेला गुणाकार वजा करावा व छेदाच्या वर्गानें भागावें म्हणजे उत्पन्न होते. जसें:-

य=स/ष...dय/dक्ष=dस/dक्षष-dष/dक्षस/ष२

सिद्धांत ६ वा:- यची क्ष संबंधी ताद्गति ही यची ष संबंधीं व ष ची क्ष संबंधीं या दोन ताद्गतीच्या गुणाकाराबरोबर असतें. कारण ؤय/ؤक्ष=ؤय/ؤष  ؤष/ؤक्ष हा चलनांचा संबंध सत्य आहे. म्हणून हीं चलनें बिंदुमान कल्पून
dय/dक्ष=dस/dष×dष/dक्ष

मागें दिलेली व्याख्या व हे सिद्धांत यांच्या योगानें कोणत्याहि बैजिक पदांची ताद्गति सहज काढतां येतें.

जसें:- य=क्ष३ म्हणून य+ؤय=(क्ष+ؤक्ष)३
... ؤय/ؤक्ष=३क्ष२  ... ؤय/ؤक्ष=३क्ष२

सामान्यतः य = क्षन ... dय/dक्ष= नक्षन-१ ह्या ठिकाणीं न हा पूर्णांक, अपूर्णांक, ॠण अगर धन किंवा करणीगत असला तरी हा नियम सिद्ध करतां येतो. हा नियम ''बैजिक घातसंख्येची ताद्गति घाताच्या संख्येनें घातसंख्येच्या एकोणवातास गुणावें'' असा लिहितां येतो. यावरून बैजिक संख्येची ताद्गति चट्कन काढतां येईल.

जसें:— य = ४क्षन + ५क्षम + ३क्ष२ + क्ष + २

 //४ नक्षन-१    ५मक्षम-१    ६क्ष  १

घातपदांचा, घातपदीय व लाग्रतमीय फलांचा विचार:/

य  अक्ष   य   य   अक्ष   क्ष-अक्ष
    
अक्ष  (अ  क्ष -१)

अक्ष लाग अ ......... बीजगणितानें

अक्ष लाग ज सापेक्षत्त्वानें.

य    इक्ष  येथें मागील सिद्धांताचा उपयोग करून

इक्ष लाग इ  इक्ष कारण लाग   इ  १

(ह्यासंबंधीं व इ या श्रेणीसंबंधीं जास्त माहिती बीजगणितांत मिळेल.

य   लाग क्ष   य    य  लाग (क्ष   क्ष)

लाग   (

त्रिकोणमितीविषय फलाच्या ताद्गतीचा िवचार

य    ज्या (क्ष)    य    य   ज्या (क्ष  क्ष)

--///-

--///-
२ कोज्या   क्ष       ज्या

को ज्या (क्ष) सापेक्षत्वानें

कांज्या (क्ष)

याचप्रमाणें           ज्या (क्ष)

--///-  ज्या (क्ष)

--///- च्छेद (क्ष)

--///-  काच्छेद२ (क्ष)

इत्यादि त्रिकोणमितीच्या सब फलांच्या ताद्गती करतां येतील; एवढच नव्हे तर त्रिकोणामतिविषयक इतर बनलेल्या फलांच्या ताद्गतीहि या व मागें दिलल्या सर्वसामान्य सिद्धांतांच्या मदतीनें काढतां येतात. उदा.
य  लाग (कोज्या (क्ष२)

-///-    ज्या (क्ष२). २क्ष

-///-    इत्यादि.

त्रिकोणमितिविषयक व्यत्यासफलांच्या ताद्गतीस देखील थोड्याशा श्रमानें काढणें कठिण नाहीं. जसें:/

य   ज्या -१ (क्ष)   क्ष   ज्या (य)      कोज्या (य)

-///-    इत्यादि

अशा रीतीनें बैजिक व त्रिकोणमितिविषयक फलांच्याच ताद्गती आणतां येतात असें नव्हे तर त्रिकोणमिति अगर चापफलाप्रमाणेंच असणारीं अतिपरवलयफलें व त्या पेक्षांहि इतर वरिष्ठ दर्जाची नानाप्रकारचीं फलें यांचा संबंध लक्षांत घेऊन त्यांची ताद्गति काढणें हेंच या शास्त्राचें मुख्य अंग आहे. एखाद्या फलाच्या काढलेल्या ताद्गतीस त्या फलाचें अभिजात फल म्हणतात जसें: य   ज्या (क्ष)      कोज्या (क्ष)   यांत  कोज्या (क्ष) हें ज्या (क्ष) याचें अभिजात फल होय. लिहिता येईल. मूल फल य आहे असें मानल्यास हें

//////-

असें लिहितात. ज्या अभिजात फलांच्या ताद्गति आणण्याच्या प्रकारास गतिपरंपरा असें नांव आहे. नानाप्रकारचीं फलें घेऊन त्यांची गतिपरंपरा काढणें व तत्संबंधीं नियम घालून देणें हाहि या शास्त्राचा एक भाग आहे. या संबंधांत दोन फलाच्या गुणाकाराचें न-अभिजात फल काढण्याकरितां लेब्नित्झचा सिद्धांत नावाचा नियम सिद्ध करतां येतो तो असा:-

ा/////-
ा////- इत्यादि.

या सिद्धांताचें बीजगणितांतील दिपद श्रेणीशी असलेलें साम्य सहज लक्षांत येईल.

यानंतर या शास्त्रांत निरनिराळ्या श्रेणीचा विचार करतात. यासंबंधीं दोन महत्वाचें सिद्धांत सांगितलें आहेत. ते मॅकलॉरिन व टेलर यांचे सिद्धांत होत. या सिद्धांतांनीं कोणत्याहि फलाची चलपरिणामाच्या घातपदांच्या श्रेणींत घटना करतां येते. अगर फलाची एकंदर वाढ चलपरिणामाच्या झालेल्या वाढीच्या घातपदांनीं दाखवितां येते. सिद्धांताचें स्वरूप पुढें दाखविल्याप्रमाणें आहे.

टेलरचा सिद्धांत:/ फ (क्ष  च)   फ (क्ष)    च

//////-

        ............अनंतापर्यंत.

मॅकलॉरिनचा सिद्धांत:/

फ (क्ष)    (फ(क्ष)०             क्ष

//////-


इत्यादि अनन्तापर्यंत.

या श्रेणी किती पदांपर्यंत असाव्या इत्यादि विचार बराच महत्त्वाचा असून सध्यांच्या गणितविषयक दृष्टीनें त्याचें बरेंच महत्त्व आहे. परंतु त्यासंबंधी येथें विचार करण्याचें कारण नाहीं.

पूर्वी सांगितलेंच आहे कीं, कित्येक प्रसंगीं एखाद्या अनित्य परिणामांची किंमत एकापेक्षां अधिक चलपरिमाणांवर अवलंबून असते, व असलीं फलें फ (क्ष,ष) या स्वरूपानें दशर्विली जातात. यांत क्ष ला चलन दिल्यास एकंदर फलांत फरक होईल. एवढेंच नव्हे तर तीच गोष्ट व याच्या चलनानें होईल. क्ष व ष या दोहोंच्या किंमतींत एकदम बदल होऊनहि फलांत बदल होईलच. अशा रीतीनें फलांत पडलेला फरक तीन प्रकारचा होईल हें स्पष्ट आहे. एक क्ष मुळें, दुसरा ष मुळें व तिसरा क्ष व ष यांच्या योगानें. या तिन्ही फरकांस अनुसरून तीन ताद्गती संभवतात. पहिल्या दोन ताद्गतीस खंडताद्गति किंवा भागताद्गति असें म्हणतात. ह्या खंडताद्गती एकंदर ताद्गतींहून भिन्न आहेत हें दर्शविण्याकरतां   या अक्षराचा उपयोग करून दर्शवितात.   ही ताद्गति एकंदर फलांत फक्त क्षस चलन मिळालें हें दर्शवितें. तसेंच    ही फक्त, षस चलन मिळालें हें दर्शवितें. या ताद्गतीचा अर्थ पूर्वी सांगितलाच आहे कीं, एखाद्या फलाच्या भुक्तपरिमाणांत बदल झाला असतां एकंदर फलांत होणारा फरक या ताद्गतीनें चट्कन दर्शवितां येतो. जसें:/ य हें फल     ही ताद्गति व   क्ष हें क्ष चें बिंदुमान आणि यावरून यचे बिंदुमान        क्ष होय. अर्थात य हें दोन चलपरिणामांचें फल असल्यास दोघंहि परिमाणांचें फल असल्यास दोघंहि परिमाणांच्या बिंदुमानामुळें एकंदर फलांत होणारा फरक    क्ष व     व असा दर्शवितां येईल. या नंतर टेलरच्या सिद्धांतानें असें सिद्ध करतां येतें कीं, एकंदर फलांत दोघंहि चलपरिणामांच्या बिंदुमात्र चालनानें        क्ष        ष इतका फरक पडतो. व यावरून एकंदर फलाची तारतम्यात्मक पूर्ण ताद्गति काढतां येईल. उदा.   य   फ (क्ष, य).

    व         या खण्डताद्गती होत व बिंदुमान तारतम्यकरतां    घेतल्यास तारतम्यानें पूर्ण ताद्गति


       क्ष      ष


ही होते. ह्याच रीतीनें दोन किंवा अधिक भुक्तपरिणांच्या फलांचा विचार करून त्यांची ताद्गति अगर अभिजात फल, द्वितीय ताद्गति अगर याभिजात फल इत्यादि काढतां येऊन गतिपरंपरेचा विचार करतां येतो व टेलरच्या सिद्धांतास व्यापक स्वरूप देतां येतें. टेलरच्या सिद्धांताचें व्यापक स्वरूप असें:/  य    फ (क्ष, ष).

फ (क्ष  व,  ष   छ)   फ (क्ष, ष)

ा/////-

/////-

/////- इत्यादि.

मॅकलॉरिनच्या सिद्धांतासहि असें व्यापक स्वरूप देतां येईल.

या टेलरच्या सिद्धांताचें महत्त्व बरेंच मानलेलें आहे. या सिद्धांतानें कोणत्याहि फलाची भुक्तपरिमाणांच्या घातपदांत श्रेणीच्या स्वरूपानें घटना करतां येते. बहुतेक बीजगणित, त्रिकोणमिति इत्यादि विषयांत वारंवार येणार्या श्रेणी, तसेंच लाग्निथमिक श्रेणी इत्यादि सहज काढतां येतात. फक्त त्या त्या फलांची गतिपरंपरा काढून त्यांची मांडणी सिद्धांताच्या स्वरूपांत केली म्हणजे झालें.

उदा. ज्या (क्ष  च) येथें        कोज्या (क्ष)

            ज्या (क्ष)

इत्यादि म्हणून  टेलरच्या सिद्धांताच्या स्वरूपांत:-

ज्या (क्ष   च)      ज्या (क्ष)   कोज्या (क्ष). च-ज्या(क्ष)

-कोज्या (क्ष)      ज्या (क्ष)      इत्यादि.

यांतच क्ष     ० किंमत मांडल्यास

ज्या (च)       च                इत्यादि.

ही प्रसिद्द त्रिकोणमितींतील श्रेणी होय.

दुसरें उदा. लाग (क्ष  य ) येथें

इत्यादि.

म्हणून लाग (क्ष  च) ला (क्ष)

.....इत्यादि.

यांतच क्ष १ किंमत मांडल्यास

लाग (१  च)    च ... ... ... ...

ही प्रसिद्ध लाग्रिथमिक श्रेणी झाली. बीजगणितांतील द्विपदसिद्धांतहि या टेलरच्या सिद्धांताचेंच अगदीं साधें उदाहरण होय. येथें फल (क्ष  च) न

क्षन   नक्षन-१     न (न-१)क्षन-२ इत्यादि

यावरून (क्ष  च)न    क्षन   नक्षन-१   च    क्षन-२ च२

क्षन-२ च३   हाच द्विपदसिद्धांत.

कलनशास्त्राचा उपयोग अशा रीतीनें केवळ फलांची श्रेणीच्या स्वरूपांत घटना करण्याकडेच केवळ करीत नाहींत तर दुसरेहि पुष्कळ उपयोग आहेत ते सर्वच येथें सांगता येणार नाहींत. येथें केवळ त्यांचा नामनिर्देशच करून थांबावे लागेल.

यांचा विशेष उपयोग भूमितीत होतो. उदा. य   फ(क्ष) असें वक्र घेतल्यास ....... हें बिंदुमानांचें गुणोत्तर होतय, तें वक्रांतील विशिष्ट स्थानीं होणार्या कोनाचें स्पर्शफळ होय व हीं बिंदुमानें असल्यानें तेंच त्या वक्राच्या स्पर्शरेषेचें अवतरण होईल व यावरून त्या स्पर्शरेषेचें समीकरण, तसेंच कोस्पर्शरेषचें समीकरण इत्यादि सह करतां येतात. कोणतेंहि वक्राचें समीकरण दिलें असतां त्याच्या अनंतोपगा, पात, शृंगें, शृंगांचे प्रकार, तें वक्र एखाद्या बिंदुसंबंधानें अंतर्वक्र आहे इत्यादि विचार, वक्रिय वृत्तें, त्यांच्या त्रिज्या, मध्यबिंदूंचे सहनिर्देशक, अन्वालोप स्पर्शविचार इत्यादि गोष्टीचा विर्णय करतां येतो व अशा रीतीनें या सर्व गोष्टी निश्चित केल्यावर दिलेल्या सबंधानें दर्शविलें जाणारें वक्र ओळखतां येतें; मग वक्राचें समीकरण डकार्टच्या सनाभि अगर कोणत्याहि पद्धतीनें दिलेलें असो.

ज्योतिषशास्त्रांत चंद्र, सूर्य, तारे, ग्रह इत्यादिकांचें गणित करतांना याची जरूर लागते व यासंबंधीं थोडासा उल्लेख या लेखाच्या आरंभी आलेलाच आहे. पदार्थविज्ञानशास्त्र व गतिगणितांत तर ह्याचें महत्त्व फारच आहे. शुद्ध गणितांतहि शून्यभिन्न, अंतरव्यवच्छेदन, अत्युच्च, अतिनीच यांचा निर्णय, मध्यमफलानयन इत्यादि किती तरी गोष्टींत उपयोग होतो. थोडक्यांत सांगावयाचें म्हणजे हें चलनकलनशास्त्र सर्वव्यापीं असें शास्त्र असून बहुतेक गणितविषयक विचारास त्याची जरुरी आहे.

सू क्ष्म सं च य न किं वा ग ति मू ल सं क ल न./या शास्त्राची उत्पत्ति चलनकलनाच्या पूर्वी झालेली असली तरी उपपत्ति चलनकलनाच्या मागाहूनच येते. बदलणार्या परिमाणांचा विचार करतांना नेहमीं विकाराच्या वेगाचाच विचार करावा लागतो असें नाहीं तर हळूहळू होणार्या फरकांमुळें पाहिजे. हा परिणाम अगदीं लहान लहान विकारांचा किंवा बिंदुमानांचा बनलेला असतो. प्रत्येक बिंदुमान जरी लहान असलें तरी त्याची गोळाबेरीज हीस महत्त्व असतेंच. टेंकडीची वाढ अगदीं हलकें होत असली तरी तिची उंची लहानच असेल असें म्हणता यावयाचें नाहीं. चलनकलनांत एकंदर परिणाम देऊन गति काढावयाची असतें; यांत गति दिली असतां एकंदर परिणामाचा निर्णय करावयाचा असतो. पूर्ण परिमाणांस संवर्धन किंवा संचय असें नांव आहे. आणि दिलेल्या गतीपासून अगर वाढीच्या वेगापासून, क्षणोक्षणी पावलोपावलीं होणारे फरक एकत्र करून हीं संवर्धनें काढण्याच्या रीतीस संकलन किंवा संचयन असें म्हणतात. ही एक प्रकारची सूक्ष्म संख्याची किंवा परिमाणांची बेरीजच आहे. यांत ताद्भति दिली असतांना फळ काढावयाचें असल्यानें हें शास्त्र चलनकलनाचा व्यत्यासच आहे असें म्हणण्यास हरकत नाहीं. ताद्भति दिली असतां फल काढणें किंवा असल्या ताद्भतींनीं एकंदर होणारें संवर्धन काढणें हेंच या शास्त्राचें मुख्य अंग आहे.

अगदी साधें उदाहरण एखाद्या रेषेचें घेतां येईल. ही रेषा लहान लहान बिंदुमानांची बनलेली असेत. अर्थांत सर्व रेषेची लांबी म्हणे संवर्धन हें या बिंदुमानांच्या बेरजेनें मिळणार आहे. ही गोष्ट गणितविषयक परिभाषेंत संवर्धन    स    तस तशी लिहितात. यांत स ही सर्व लांबी होय  व   स हें बिंदुमान किंवा ताद्भति होय त्यांचा संबंध वर दशर्विलाच आहे. दुसरें उदा. य   क्षन
नक्षन-१          य     न क्षन-१   क्ष

येथें य हें फलाचें बिंदुमान होय म्हणून
य    य  नक्षन क्ष   क्षन

क्षन    हा सिद्धांत झाला.

अशाच रीतीनें    कोज्या (क्ष) क्ष   ज्या (क्ष)

ळााग (क्ष) इत्यादि रूपें, चलनकलनांत आणलेल्या रूपांकडे लक्ष दिल्यास सहज सिद्ध करतां येतील. आणखी कांहीं उदाहरणें पुढें दिली आहेत:/


हे संवर्धन काढणें कांहीं विशेष रीती ध्यानांत ठेविल्या असतां सुलभ होतें. म्हणून त्या रीतीचें वर्णन थोडक्यांत पुढें दिलें आहे.

भागभिन्न:-एखाद्या अपूर्णांकसंख्येनें दशर्विली जाणारी ताद्भति दिली असतां ती सुलभ रीतीनें संचयन करतां यावी म्हणून तीन निरनिराळ्या अपूर्णांकांच्या बेरजेचें स्वरूप द्यावयाचें. नंतर प्रत्येक अपूर्णांकाच्या संवर्धनाची बेरीज घ्यावयाची. उदा.

                    म्हणून
            

कोणताहि अपूर्णांक या भाग अपूर्णांकांनीं कसा व्यक्त करावा यासंबंधीं सामान्य नियम बीजगणितांत पहावयास सांपडतील.

रूपांतरप्रक्रिया:-ह्या रीतीचा उपयोग एका रूपांतून दुसर्या रूपांत क्रिया व्यक्त करण्यांत फार चांगला होतो. एखाद्या वेळीं प्रत्यक्ष संकलन सहज साध्य नसतें अशा वेळीं चलपरिमाणांत इष्ट तो फरक करून निराळ्या चलपरिमाणानें संवर्धन व्यक्त करावयाचें व मग तें पुनः पहिल्या परिमाणानें दर्शवावयाचें उदा.

क्ष  ह्याचें सर्वधन काढावयाचें. ह्यांत चल परिमाण क्ष आहे. जर क्ष    ज्या (ष) असा निराळा संबंध गृहीत धरून व हें चलपरिमाण मानलें तर

कोज्या (ष)    क्ष   कोज्या (ष)   ष म्हणून दिलेले उदा.  कोज्या (ष) ष ष असें होईल. याचें सर्वधन अर्थात ष आहे. हेंच पूर्वीच्या क्ष परिमाणानें वक्त केल्यास ज्या (क्ष) असें होतें; म्हणून
        क्ष   ज्या (क्ष)

अकरणीरूप क्रिया:-ही रीति मागील रीतीप्रमाणेंच आहे. हिच्यांत चलपरिमाणांत बदल करून सर्वधन काढतांना येणारें करणीरूप टाळावयाचें असतें, किंवा दिलेल्या करणीरूपाचें माहीत असलेल्या संचयन स्वरूपांत रूपांतर करावयाचें उदा.

            क्ष येथें क्ष  

या नवीन संबंधानें दर्शविलें जाणारें चलपरिणाम व घेतल्यास रूप/-
            ष हें होतें. याचें भागभिन्न प्रक्रियेनें सहज संकलन करतां येईल.

सोपानप्रक्रिया:/ ही रीति कित्येक वेळां बरीच उपयोगास येते. या रीतींत दिलेल्या संचयाचें जरा रूपांतर करून पूर्वीप्रमाणेंच दिसणार्या परंतु थोडा फरक करून असणार्या स्वरूपांत व्यक्त करीत जावयाचें व अशा रीतीनें दिलेलें रूप त्यापेक्षां सोप्या संकलनस्वरूपांत परंपरेनें व्यक्त करीत जावयाचें उदा.

ज्यान (क्ष)  क्ष     ज्या (क्ष) कोज्या (क्ष)

(न-१) ज्यान-२ कोज्या२ (क्ष)    ज्यान-१ (क्ष) कोज्या (क्ष)
(न-१)   ज्यान-२   क्ष   क्ष-(न-१) ज्यान (क्ष)   क्ष

ज्यान (क्ष)    क्ष


            ज्यान-२ (क्ष)

या ठिकाणीं ज्यान (क्ष) चें संकलन ज्यान-२(क्ष) च्या स्वरूपांत व्यक्त झालें. आतां याच मार्गाचा अवलंब करून ज्या न-२ (क्ष) चें संकलन ज्या न-४ (क्ष) च्या स्वरूपांत व्यक्त करतां येईल. व अशा रीतीनें शेवटीं तें ज्या क्ष किंवा ज्या (क्ष) यांच्या संकलनरूपांत घालतां येईल. व हें शेवटचें रूप सहजसाध्य आहे.

एखादी ताद्गति दिली असतां या किंवा असल्याच रीतीनीं सर्वधन काढल्यावर या आलेल्या सर्वधनास ताद्भतीचें अनुस्यूत फल म्हणतात. ह्या अनुस्यूत फलासच ताद्भति कल्पून नवीन अनुस्यूत फल किंवा द्वितीय अनुस्यूत फल काढतां येईल. अशा रीतीनें संचयनांतहि परंपरासंचयन सांगितलें आहे.


उदा. ज्या (क्ष)   क्ष  -कोज्या (क्ष)

कोज्या (क्ष)   क्ष  -ज्या (क्ष)

ज्या (क्ष)    कोज्या (क्ष)

ज्या (क्ष)  क्ष३  कोज्या (क्ष) इत्यादि.

चिन्हांनीं तीनदां संचयन करावयाचें हें दर्शविलें आहे.

आतांपर्यंत एकच मुक्तपरिमाणांसंबंधीं संचयन सांगितलें. परंतु दोन किंवा अधिक मुक्तपरिणामांसबंधीं देखील संचयन शक्य आहे. यांत मात्र पहिल्यांदा एक व नंतर दुसरें या क्रमानें संचयन करावें लागतें. उदा.  क्ष३ष२ क्ष ष यांत प्रथम षसंबंधीं संचयन व नंतर क्षसंबंधीं संचयन करावयाचें व एकूण संचयन करावयाचें हें चिन्ह द्वयानें दाखवलें आहे. प्रथमतः ष चें संचयन

सर्वधन     क्ष असें लिहितात व नंतर क्षचें संचयन

सर्वधन     होतें       क्ष३ ष२ क्ष  ष   

याप्रमाणें तीन किंवा अधिक परिमाणांचा विचार करतां येईल. आतांपर्यंत फक्त संचयनांतल्या मुख्य स्वरूपाचाच विचार करण्यातं आला. उदा. क्षन-१  क्ष   याचा  अर्थ     याची ताद्गति क्षन-१ ही होय. व ताद्गतीवरून काढलेलें सर्वधन वर दर्शविलेल्या संबंधानें दर्शविलें जातें. परंतु याची ताद्गति देखील क्षन-१ होईल मात्र अ हा नित्य किंवा अचल मानिला म्हणजे झालें. यावरून सर्वधन काढल्यावर कोणतीहि नित्य संख्या मिळविली तर त्यासहि सर्वधन मानतां येईल म्हणून ज्या ज्या वेळी इतर काहीं गोष्टी अनिर्दिष्ट असतील त्या त्या वेळीं सर्वधन काढून त्यांत अनिश्चित अशी नित्य संख्या मिळविली पाहिजे. म्हणजे योग्य सर्वधन होईल.

हा सर्वधनाच्या बाबतींत दिसून येणारा अनिश्चितपणा, स्पष्ट सर्वधन किंवा स्पष्ट संचयन म्हणून एक संचयनाचा प्रकार आहे त्यांत दिसून येत नाहीं. ह्या स्पष्ट सर्वधनाची कल्पना देण्यापूर्वी एकंदर संचयनशास्त्र निराळ्याच दृष्टीनें परिणत करतां येतें त्यासंबंधीं थोडक्यांत विचार करूं. भूमितीच्या दृष्टीनें विचार केल्यास हा विचार चट्कन ध्यानांत येतो. य   फ(क्ष) हें वक्र घ्या. याची आकृति काढून य व क्ष चे अक्ष व हें वक्र यांमधील क्षेत्र किती आहे हें निश्चित करावयाचें आहे असें समजूं. अर्थात सर्व क्षेत्र अनंत होईल. परंतु क्षच्या अ ते ब या किंमतींत दरम्यान असलेल्या क्षेत्रास सर्वधन मानल्यास त्याचे बिंदुमान तुकडे पाडूंया. यांत क्ष  हा क्षचा बिंदुमान भाग व त्याची त्या ठिकाणां असलेली फ (क्ष) उंची यावरून बिंदुमान तुकड्याचें क्षेत्र फ (क्ष) होतें. या सर्व बिंदुमान तुकड्यांची बेरीज करावयाची ती   फ(क्ष) अशी लिहितात. व सर्वधन हें तें क्षेत्र होय. ही बेरीज करतांना चलनकलनांतल्या ताद्गतीच्या व्याख्येचा उपयोग करावा लागतो. भ (क्ष) हे क्षचें फल आहे असें मानल्यास ताद्गतीच्या व्याख्येनें

            फ (क्ष)

म्हणून भ(क्ष  क्ष)    -भ(क्ष) फ(क्ष)   क्ष म्हणून

एकंदर प्रस्तुत क्षेत्र (भ (क्ष)    फ(क्ष) होईल.

चिन्हानें एकंदर बिंदुमान तुकड्यांची फक्त बेरीज दर्शविली जाते. आतां क्षच्या किंमती अ पासून सारख्या बदलत जाणार्या आहेत व त्या व पर्यंत वाढतात. म्हणून सर्व बिंदुमानें घेतली असतां (भ(क्ष  क्ष)-भ(क्ष)) हें भ(ब) – भ(ब- ब) भ (ब- ब) – भ(ब      ) हें भ(ब) – भ(ब  -  ब) भ (ब-           ) इत्यादि जवळ जवळच्या किंमती घेऊन लिहितां येईल व या सर्व बेरजेची किंमत भ(ब)  -भ(अ) होईल हें स्पष्टच आहे. म्हणून   फ(क्ष)   क्ष भ(ब)   - म(अ) हा संबंध क्षेत्रानयन दर्शवितो. क्षच्या किंमती अ पासून ब पर्यंतच घ्यावयाच्या हें चिन्हावर व खालीं ब व अ अक्षें लिहून     फ (क्ष)   क्ष   भ (ब) – भ (अ) असें दर्शवितांत. अर्थांत भूमितीचा विचार काढून टाकल्यास फ(क्ष) क्ष यास स्पष्टसंचयन म्हणतात व त्याची किंमत इष्ट असल्यास फ(क्ष) ही ज्याची ताद्गति आहे असें भ (क्ष) फल घेऊन त्यांत ब व अ यांच्या किंमती घालून पहिल्यांतून दुसरी वजा करतात. उदा.


    क्षन-१ येथें       हा साधा संचयन व्यवहार

म्हणून     क्षन-            हें स्पष्ट संचयन

सर्वधन.

दुसरें उदा. अ     कोज्या (क्ष)   ज्या(ब) – ज्या (अ)

ह्या स्पष्ट संचयनासंबंधीं विचार संकलनशास्त्रांत बराच मोठा आहे. निरनिराळीं स्वरूपें घेऊन त्यांचें सर्वधन स्पष्ट रूपांत काढणें याचें बरेंच महत्त्व आहे. कित्येक प्रसंगीं तर प्रत्यक्ष संचयनाच्या रीतीचा उपयोग न करतां देखील हें स्पष्टसंचयन सर्वधन काढतां येतें. त्यासंबंधीं कांहीं नियम आहेत एवढेंच नव्हे, तर हें संचयन केव्हां शक्य आहे, त्यांती अ व बसारख्या मर्यादासंख्या कोणत्या असाव्या वगैरे सर्व विचार संचयनशास्त्रांत येतात. त्यांचा विचार विस्तारयास्तव करतां येत नाहीं.

या शास्त्राचा उपयोगहि चलनकलन शास्त्राप्रमाणेंच फारच व्यापक आहे. क्षेत्रफळ काढतांना त्याचा कसा उपयोग होताो हें वर सांगितलेंच आहे. क्षेत्रफळाप्रमाणेंच वक्रांची लांबी घनाकृतीचें पृष्ठफळ, घनफळ, वक्राच्या किंवा घनाकृतीच्या संबंधीं बाबींचें, पृष्ठांचें किंवा आकृतीचे भूमितीमध्य, गतिशास्त्रांत लागणार्या स्थिर महत्त्वाचा निर्णय इत्यादि भूमितिविषयक गोष्टी केवळ साध्या संकलनानें काढतां येतात. गतिगणितांत गतीचें गणित, पदार्थविज्ञानशास्त्रांत वारंवार लागणार्या रूपांचें उद्धाटन, ज्योतिषशास्त्रांत लागणार्या चंद्र सूर्यादिकांच्या स्थिती, यांचा निर्णय करण्यास हें शास्त्र फारच उपयोगी आहे.

क ल न स मी क र णें./या शास्त्रासंबंधीं या ठिकाणीं फारसें लिहिण्यानें तादृश उपयोग नाहीं. निरनिराळ्या शास्त्रांचें अध्ययन करतांना ताद्गतीचा उपयोग होतो. ही ताद्गति अनिश्चित मानल्यास तिनें युक्त असा संबंध हें ताद्गतीचें समीकरण होय. उदा.

    ५    ० यावरून

यची किंमत क्ष या चलपरिमाणांत, अगर य हें कोणतें व कसलें फल आहे हें, व्यक्त करणें म्हणजे तें समीकरण सोडविणें होय. अशीं हीं समीकरणें पदार्थविज्ञानशास्त्रांत गतिगणितांत, शुद्ध गणितांत व इतरत्रहि आढळून येतात. त्यासंबंधीं परिभाषा ठरवून तीं समीकरणें सोडविण्याच्या सामान्य रीती सांगणें हेंच या शास्त्राचें अंग आहे.

हें सूक्ष्मकलनशास्त्र फारच व्यापक आहे. बिंदुमानाच्या कल्पनेची ग्राह्यता पटल्यावरच वर दिल्याप्रमाणें या शास्त्राची उपपत्ति लावतां येते. परंतु गणितदृष्ट्या या रीतींत अपूर्णता असून नियमबद्धता येण्याकरतां निरनिराळें प्रयत्न करण्यांत आले व निरनिराळ्या तत्त्वांवर या शास्त्राचा पाया रचण्यांत आला. त्या प्रयत्नांचीं नांवें देऊन त्यांचें थोडक्यांत दिग्दर्शन करणें अप्रासंगिक होणार नाहीं.

शुद्धगणिताची व्याख्या:/यांत भूमितिविषयक विचार न घेतां केवळ, भुक्तपरिमाणें, त्यांचीं फलें, त्यांच्या किंमती व परस्पर संबंध एवढेंच लक्ष्यांत घेऊन त्यावरून विचार केला आहे.

न्यूटनची रीति:/हींत वेळेचा संबंध घेऊन, भूमितिविषयक परिमाणें गतीनें उत्पन्न होतात असें गृहीत धरलें आहे. या गतीस प्रवाह व परिणामास प्रवाही अशी संज्ञा दिली आहे. प्रवाहांचे गुणोत्तर आकृतींवर अवलंबून राहील. प्रवाही दिले असातं प्रवाह काढणें हा चलनशास्त्राचा विषय व प्रवाह दिले असतां प्रवाही निश्चित करणें हा संकलनशास्त्राचा विषय होय. ह्यांत क्ष हा प्रवाही मानल्यास त्याची गति (ताद्गति) क्षं अशी लिहितात. द्वितीयताद्गति किंवा द्वितीयाभिजात क्ष असें दशर्वितात. फ(क्ष)चें अनुजात फल फं (क्ष) इत्यादि.

लिब्नित्झची रीति:/लहान लहान तुकड्यांची किंवा बिंदुमानांची रीति. हिचें वर्णन वर दिलेंच आहे. परंतु गणिशास्त्रदृष्ट्या हिच्या आरंभीच्या मूलतत्त्वांतच अस्पष्टपणा येतो.

ऑयलरची शून्यलब्धि रीति:/हिच्यांत शून्याची कल्पना घेऊन शून्याचें प्रमाण काढण्याचा प्रयत्न केला आहे.

डालेंबाची रीति:-हिच्यांत दोन संख्यांचें गुणोत्तर काढून या गुणोत्तराची त्या संख्या अगदीं लहान लहान होत गेल्या असतां अगदीं शेवटीं येणारी आत्यंतिक किंमत काय या प्रश्नाचा विचार केला आहे.

बीजगणिताची रीति:-ही रीति अठराव्या शतकाच्या मध्याच्या सुमारास उदयास आली. हिच्यांत क्ष व क्षं या दोन परिमाणांच्या फलांचें अंतर घेऊन त्यास क्ष-क्षं यानें भागावें व नंतर या गुणोत्तराची क्ष  क्षं झाला असतांना येणारी किंमत काढावी म्हणजे अभिजातफल होईल असें सांगितलें आहे.

लाग्रांची फलांच्या श्रेढीरूपांत घटनेची रीति:-ह्या रीतीचा उत्पादक लाग्रां हा स्वतः ग्रंथांतून साध्या रीतीचेंच अनुकरण करी. ह्या रीतींत फलांची श्रेढीरूपांत घटना दुसर्या कोणत्या तरी रीतीनें आणलेली गृहीत असतें व नंतर निरनिराळे गुणक हे प्रथम, द्वितीय, तृतीय इत्यादि अभिजात फलें होत अशी व्याख्या केलेली आहे उदा.

(क्ष   च)न     क्षन   न क्षन-१ च  
            क्षन-२ च२

यावरून च चा गुणक नक्षन-१ हें प्रथम अभिजात फल    न(न-१) क्षन-२ हें द्वितीय अभिजात फल इत्यादि टेलरच्या सिद्धांताचीच पुनरावृत्ति आहे हें सहज लक्षांत येईल.

काव्हालिएरी याची प्रमाणबद्ध भागांची रीति:-ही बिंदुमानांच्या रीतीप्रमाणेंच थोड्या फरकानें आहे.

(संदर्भग्रंथ:-लँब-इन्फिनिटेसिमल कॅल्कुलस; गणेश प्रसाद-डिफरेन्शिअल अँड इन्टीग्रल कॅल;टॅनरी-इन्ट्रोडक्शन ए ला थिओरी द फंक्शन्श, जॉर्डन –कोर्स डी अनालाइझ; फोर्साइथ-थिअरी ऑफ डिफरन्शिअल इक्वेशन्स; कार्स्लाइन्ट्रोक्शन टु दि इन्फि. कॅल्कुलस; सुधाकर द्विवेदी-चलनकलन.) (लेखक मो. ल. चंद्रात्रेय).

   

खंड २१ : साचिन - ज्ञेयवाद  

 

 

 

  सातारा
  सादाबाद
  सादी
  सानंद तालुका
  साबण
  साबरमती नदी
  साबाथ
  साबूदाणा
  सांभर
  सांभर सरोवर
  सामवेद
  सायणाचार्य
  सायप्रस बेट
  सायरिनी
  सारंगड संस्थान
  सारंगपूर
  सारण
  सारस्वत
  सारानाथ
  सार्वराष्ट्रीय कायदा
  सालवीन
  सालूर
  सालेम
  सालोन
  साल्व्हाडोर
  सावंतवाडी संस्थान
  सावर्णि
  सावित्री
  साष्टी
  सासवड
  साहित्यशास्त्र
  साळी
  सिंकोना
  सिक्कीम
  सिंगापूर
  सिंगू
  सिंघभूम
  सिजविक
  सिंजहोरो
  सिथिआ
  सिंद
  सिंध
  सिंधसरहद्द
  सिंधु
  सिंधुनद
  सिद्धपूर
  सिनसिनॅटी
  सिन्नर
  सिरसा
  सिरसी
  सिराजगंज
  सिरोही
  सिलहट
  सिलोन
  सिसवी
  सिसिरो, मार्कस टिलियस
  सिंह
  सिंहगड
  सीएरालिओनी
  सीता
  सीतापूर
  सीतामऊ संस्थान
  सीरिया
  सील
  सुएझ
  सुकेत संस्थान
  सुग्रीव
  सुतार
  सुंथ
  सुंदरवन
  सुदान
  सुदास
  सुंदोपसुंद
  सुपारी
  सुपे
  सुफी
  सुब्रह्मण्य अय्यर डॉ एस्
  सुभद्रा
  सुमात्रा
  सुमेर
  सुरगाण
  सुरगुजा
  सुरजमल्ल
  सुरत
  सुरापान
  सुराष्ट्र
  सुलतानपूर
  सुलेमानपर्यंत
  सुश्रुत
  सुसर
  सुसा
  सूतिकाज्वर
  सूर घराणें
  सूरदास
  सूर्य
  सूर्यमाला
  सूक्ष्मदर्शक यंत्र
  सूक्ष्मसंचयन
  सेखोजी आंगरे
  सेंगर उर्फ सैंगर राजवंश
  सेंट पीटर्स बर्ग
  सेंट लुसिआ
  सेंट-सायमन,क्लॉड हेनरी
  सेंद्रक
  सेन राजे
  सेनवी
  सेनीगाल
  सेरामठ
  सेलीबीझ
  सेल्युशिआ
  सेवुल
  सेव्हॅस्टोपोल
  सैन्य
  सैलाना संस्थान
  सोंड
  सोडा
  सोंडूर
  सोनपूर
  सोनपूर संस्थान
  सोनार
  सोप्पार
  सोफिया
  सोम
  सोमदेव
  सोमनाथ
  सोमालीलॅंड
  सोमेश्वर
  सोरा
  सोलापूर
  सोहावल
  सौंदत्ती
  सौदॅम्पटन
  सौंदर्यशास्त्र
  स्कंदपुराण
  स्कॉटलंड
  स्कुटारी
  स्कौट (स्काउट)
  स्टटगार्टं
  स्टॉक होम
  स्ट्रॉबेरी-इष्टापुरी
  स्ट्रायबर्ग
  स्तंभ
  स्त्रीधन
  स्थलजलचर
  स्थानेश्वर
  स्थापत्यशास्त्र
  स्थापत्यशास्त्र (भाग २)
  स्थापत्यशास्त्र (भाग ३)
  स्थितिगतिशास्त्र
  स्पंज
  स्पर्शास्पर्शविचार
  स्पार्टा
  स्पिनोझा
  स्पेन
  स्पेन्सर, हर्बर्ट
  स्फुर
  स्मर्ना
  स्मिथ, अॅडॅम
  स्वाझीलंड
  स्वात संस्थान
  स्वानसी
  स्वामीनारायणपंथ
  स्वार्थवाद
  स्वित्झर्लंड
  स्वीडन
 
  हंगु
  हंगेरी
  हॅझलिट, विल्यम
  हझारा जिल्हा
  हझाराबाग जिल्हा
  हडगल्ली
  हंडिया
  हणमंते, रघुनाथ नारायण
  हत्ती
  हंथवड्डी
  हथवाराज
  हनगळ
  हनमकोंडा
  हंबीरराव मोहिते
  हमदान
  हमीरपूर
  हर
  हरणई
  हरदोई
  हरद्वार
  हरपनहळ्ळी
  हरभरा
  हरसूद
  हरिआना
  हंरिपंत फडके
  हरिपूर
  हरिश्चंद्र
  हरिहर
  हर्दा
  हर्ष
  हलवाई
  हलायुध
  हवेली
  हव्यक ब्राह्मण
  हंस
  हंसदास (राज)
  हसन
  हसनपूर
  हंसी
  हस्तिदंत
  हस्तिनापूर
  हळद
  हळवा
  हळशी
  हळ्ळेबिड
  हाँगकाँग
  हाजीपूर
  हाटा
  हाटिया
  हाटेंटाट
  हाडें
  हायॉर्न नॅथेनील
  हाथ्रस
  हानोइ
  हागोव्हर
  हापुर
  हाफीजाबाद
  हॉफ्मान
  हॉब्ज
  हाम्बर्ग
  हाल
  हॉलंड
  हावेरी
  हाळेपाईक
  हिंगणघाट
  हिंगूळ
  हिंगोली
  हिंग्लज
  हिंदुपूर
  हिंदूकुश
  हिंदोल
  हिब्रू वाड्मय
  हिंमतबहादूर गोसावी
  हिमालयपर्वत
  हिरडा
  हिरण्यकशिपु
  हिरात
  हिरे
  हिलटिप्पेरा
  हिशेबपद्धति
  हिस्सार
  हुएनत्संग
  हुकेरी
  हुगळी
  हुंडणावळ
  हुनगुंद
  हुबळी
  हुमायून
  हुशंगाबाद
  हुश्यारपुर
  हुण
  हेग
  हेगेल
  हेंझाडा
  हेनरी राजे
  हेबळी
  हेमाद्रि अथवा हेमाडपंत
  हेलिओपोलिस
  हेल्महेल्ट्झ, हर्मन
  हैदरअल्ली
  हैदराबाद
  हैहय राजे
  होंडुरस
  होनावर
  होमर
  होयसळ राजे
  होरेस
  होलिया
  होसुर
  होस्पेट
  होळकर
  हौरा
  ह्यूगो, व्हिक्टर
  ह्यूम
 
  क्ष
  क्षत्रप
  क्षत्रिय
  क्षयरोग
  क्षिप्रा
  क्षीरस्वामी
  क्षेमंकर
  क्षेमराज
  क्षेमीश्वर
  क्षेमेंद्र
  ज्ञ
  ज्ञानकोश
  ज्ञानराज
  ज्ञानेश्वरी
  ज्ञेयवाद

 

   

यशवंतराव चव्हाण प्रतिष्ठान निर्मित महत्वपूर्ण संकेतस्थळे  

   

पुजासॉफ्ट, मुंबई द्वारा निर्मित
कॉपीराइट © २०१२ --- यशवंतराव चव्हाण प्रतिष्ठान, मुंबई - सर्व हक्क सुरक्षित .